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Mathematische Knobelei: Blaues Blut im Quadrat

Sie können sich bekanntermaßen nicht gut riechen. Trotzdem müssen sie bei besonderen Anlässen charmant lächelnde Miene machen zum intriganten Spiel hinter den Kulissen, damit die Boulevardpresse ihren Lesern in Vielfarbdruck präsentieren kann, dass auch die Reichen und Schönen mit der Zeit vom Leben immer reicher mit geschönten Fältchen gezeichnet werden. Um so einen besonderen Anlass handelt es sich bei dieser Hochzeit allemal. Nach unbegrenzten Querelen und schrankenlosem Tratsch ehelicht heute Prinz Camillo endlich seine Charlotte. Wir schalten live in die Limes-Kathedrale, wo just die ersten Gäste aus dem höheren Knobeladel eintreffen.
Willkommen, liebe Leser, zu unserer Live-Reportage, hier direkt vom Eingangsportal der Limes-Kathedrale, in der wir Zeugen eines Vorgangs werden dürfen, von dem letzten Monat noch gut unterrichtete Kreise und Quadrate verlautbaren ließen, eher gehe die Zeit gegen unendlich als die Mutter des Prinzen zu dieser Hochzeit. Nun, offenbar hat sie ihre Meinung geändert, denn es ist noch früh am Vormittag, und die logarithmische Königin sitzt schon seit geschlagenen 3,1415 Stunden in der Kirche. Von einem Aushilfspagen, der ihr vor einer halben Stunde die Morgenzeitung gebracht hat, erhielten wir die Auskunft, die Königin sei extra als erste gekommen, um mit absoluter Sicherheit einen Platz in der hintersten Bank zu kriegen, wo sie ungestört an ihrer mathematischen Knobelei rumtüfteln könne.

Da sehe ich einen Wagen vorfahren. Eine dunkle, schwer gepanzerte Limousine mit vorgesetztem Kuhfänger und schusssicheren Stützrädern. Ich vermute mal ... Moment, da hält das Auto an, die Türen öffnen sich und es entsteigt ... ja, genau, wie ich mir gedacht habe, es ist der Großherzog von Mathemazumbien. Er sieht sich um und schreitet in diesem Augenblick auf das Portal zu. Gekleidet ist der Großherzog in einen tarnfarbenen Smoking, unter dem er den in seinem Land traditionellen Patronengürtel trägt. Nun ist er an der großen Schiefertafel angekommen.

Ich will den Moment nutzen, um Ihnen, liebe Leser, in kurzen Worten zu erläutern, welche Bewandtnis es mit dieser Schiefertafel hat. Da keiner der geladenen Gäste mit einer mehr als infinitesimalen Wahrscheinlichkeit bereit gewesen wäre, dem Prinzen Camillo und der Lady Charlotte etwas zur Vermählung zu schenken, haben die beiden kurzerhand eine Stiftung für Not leidende tibetanische Rollhamster mit Achsenbruch ins Leben gerufen. Anstelle eines Hochzeitspräsents erbitten sie eine großzügige Spende für die Stiftung, deren Höhe jeder Gast vor dem Betreten der Kathedrale auf die Schiefertafel schreiben soll. Dem Quietschen nach zu urteilen, will sich der Großherzog von Mathemazumbien in der Tat nicht lumpen lassen. Jetzt ist er fertig, tritt zur Seite. Oha! In der Tat eine spendable Summe N, sechsstellig! Und lauter verschiedene Ziffern.

Gerade ist der Großherzog im Dunkel der Kirche verschwunden, da rollt die Kutsche des Lottokönigs aus Heureka vor. Ein Treppchen klappt herab, und wir sehen den König selbst in seinem üblichen Jogginganzug, während seine Gattin eine geschmacklose Robe aus synthetischem Polyesterimitat trägt. Wer hätte auch etwas anderes erwartet? Aber was ist das? Sehe ich richtig? Der Lottokönig hat mit lockerer Hand eine Summe auf die Tafel gesetzt, die exakt doppelt so groß ist wie die Spende des Großherzogs. 2N also. Na, wenn das keine Überraschung ist ...

Für Gräfin von Knaster und Knauser ist es offenbar sogar ein Schock. Sie ist zu Fuß gekommen und hat in sicherem Abstand gewartet, bis der Lottokönig samt Gattin von der Tafel verschwunden ist. Sicherlich werden Sie von der exponentiell ansteigenden Feindschaft der Damen gelesen haben. Da muss sich die Gräfin etwas einfallen lassen, wenn sie nach dieser Spende nicht vom Publikum schimpflich ausgebuht werden möchte. Ihre Hand zittert, während sie die Kreide führt. Das wird wieder eine lange Zahl, ebenfalls sechsstellig. Ist denn das zu glauben? 3N von der Gräfin! Da werden sich die Rollhamster freuen.

Aber noch sind nicht alle Gäste da. Als nächstes erscheint Baron Bombastig, natürlich mit seinem berühmten Integralrubin auf der Krawattennadel. Von ihm dürfen wir eine weitere Steigerung erwarten, meine ich. So eine Gelegenheit, die übrige Gesellschaft zu düpieren, wird der Baron sich kaum entgehen lassen. Sag ich doch: 4N. Und schon steht der junge Tensor Habsja aus der mathematischen Enklave Outdia vor der Tafel. Der setzt noch eines drauf und spendet 5N. Ja, meine lieben Leser, da wird mir ganz schummerig. Jetzt haben wir bereits fünf Spenden, alle sechsstellig, alle mit den gleichen Ziffern und alle Vielfache von N. Nun bin ich gespannt, wie der letzte Gast diese Liste komplettieren wird.

Es handelt sich dabei - Sie werden es sicher erraten haben - um den deutschen Peanuts-Kaiser, der bei Prunk und Pracht nie fehlt und nur zu gerne das Geld seiner Untertanen in sinnfreies Prestige investiert. Er tritt in diesem Moment an die Schiefertafel, greift aber nicht zur Kreide, nein, sondern in seine Westentasche. Aha, er holt einen dicken schwarzen Filzstift heraus und setzt als Spende ... 6N. Alle Achtung! Nicht sein eigenes Geld, und die Tafel hat er mit seinem Stift ruiniert, dennoch ein hoch erfreuliches Resultat für die Hamster, die nach dem heutigen Tag ihre Runden in vergoldeten Laufrädern drehen können.

Die Gäste sind jetzt vollzählig, gleich kommt auch das Brautpaar. Ich begebe mich daher in die Kathedrale auf meinen Platz. So. Hier um die Ecke ... Da vorne ist übrigens noch ein Stuhl frei. Hätten Sie nicht Lust, die Zeremonie von dort zu verfolgen? Prinz Camillo und Lady Charlotte haben uns nämlich gestattet, diesen Platz an einen besonders verdienten nichtadligen Knobelfreund zu vergeben. Alles, was Sie dafür tun müssen, ist, die Zahl N zu ermitteln, die aus sechs lauter unterschiedlichen Ziffern besteht und ein lateinisches Quadrat ergibt, wenn man die Vielfachen 2N, 3N, 4N, 5N und 6N direkt darunter schreibt. "Lateinisches Quadrat" bedeutet, dass jede Spalte und jede Zeile alle sechs Ziffern enthält. Wenn Sie also schon immer einmal so viel blaues Blut im Quadrat sehen wollten, sollten Sie die Gelegenheit ergreifen, solange die Türen der Kathedrale noch offen stehen.
Ganz schön spendabel - der mathematische Hochadel. Und natürlich mit System. Aber haben Sie herausgefunden, was Baron Bombastig und Co haben springen lassen? spektrumdirekt zeigt es Ihnen.
Gesucht ist also eine 6-mal-6-Matrix, wobei in den Zeilen die Spendenbeträge stehen - angefangen mit dem Betrag N, 2N und so weiter, deren sechs Stellen sich auf die sechs Spalten der Matrix verteilen. Wir prüfen nun von der letzten bis zur ersten Spalte, welche Ziffern möglich sind.

Zunächst die Spalte 6. Ausgehend von der Ziffer in der ersten Zeile berechnen wir die darunter liegenden Ziffern (hier nebeneinander geschrieben) - eventuelle Überträge in die Spalte daneben interessieren uns hier erstmal nicht:

0, 0, 0, 0, 0, 0: nicht möglich, da sonst stets 0 in letzter Spalte
1, 2, 3, 4, 5, 6: möglich
2, 4, 6, 8, 0, 2: nicht möglich, da sonst in erster und letzter Zeile 2
3, 6, 9, 2, 5, 8: möglich
4, 8, 2, 6, 0, 4: nicht möglich, da sonst in erster und letzter Zeile 4
5, 0, 5, 0, 5, 0: nicht möglich, da wiederholt 0 oder 5 in letzter Spalte
6, 2, 8, 4, 0, 6: nicht möglich, da sonst in erster und letzter Zeile 6
7, 4, 1, 8, 5, 2: möglich
8, 6, 4, 2, 0, 8: nicht möglich, da sonst in erster und letzter Zeile 8
9, 8, 7, 6, 5, 4: möglich

Das heißt, in der letzten Spalte bzw. der letzten Stelle der Zahl N kann 1, 3, 7 oder 9 stehen. Weiter mit Spalte 5, die wir nun allerdings nicht allein betrachten dürfen, denn unter Umständen liefert die 6. Stelle einen Übertrag. Nur die Überträge in die 4. Spalte interessieren uns hier noch nicht. Gehen wir also die Möglichkeiten durch:

01, 02, 03, 04, 05, 06: nicht möglich, da sonst stets 0 in der 5. Spalte
03, 06, 09, 12, 15, 18: nicht möglich, da sonst mehrfach 0 in der 5. Spalte
07, 14, 21, 28, 35, 42: nicht möglich, da zweimal 2 in 5. Spalte
09, 18, 27, 36, 45, 54: nicht möglich, da schon für die Spalten 5 und 6 mehr als 6 Ziffern verwendet werden

Die 0 kann also auch nicht in der 5. Spalte stehen.

13, 26, 39, 52, 65, 78: nicht möglich, da schon für die Spalten 5 und 6 mehr als 6 Ziffern verwendet werden
17, 34, 51, 68, 85, 02: nicht möglich, da schon für die Spalten 5 und 6 mehr als 6 Ziffern verwendet werden
19, 38, 57, 76, 95, 14: nicht möglich, da sonst zweimal 1 in der 5. Spalte

Auch die 1 kann nicht in der fünften Spalte stehen.

21, 42, 63, 84, 05, 26: nicht möglich, da sonst zweimal 2 in 5. Spalte
23, 46, 69, 92, 15, 38: nicht möglich, da für die Spalten 5 und 6 mehr als 6 Ziffern verwendet werden
27, 54, 81, 08, 35, 62: nicht möglich, da für die Spalten 5 und 6 mehr als 6 Ziffern verwendet werden
29, 58, 87, 16, 45, 74: nicht möglich, da für die Spalten 5 und 6 mehr als 6 Ziffern verwendet werden

Die 2 kommt damit auch nicht für die 5. Spalte in Frage.

31, 62, 93, 24, 55, 86: nicht möglich, da für die 5. und 6. Spalte mehr als 6 Ziffern verwendet werden
37, 74, 11, 48, 85, 22: nicht möglich, da zweimal dieselben Ziffern nebeneinander stehen
39, 78, 17, 56, 95, 34: nicht möglich, da zweimal 3 auf Stelle 5

Die 3 fällt also ebenfalls weg.

41, 82, 23, 64, 05, 46: nicht möglich, da zweimal 4 in der 5. Spalte
43, 86, 29, 72, 15, 58: nicht möglich, da für die 5. und 6. Spalte mehr als 6 Ziffern verwendet werden
47, 94, 41, 88, 35, 82: nicht möglich, da zweimal 4 in 5. Spalte
49, 98, 47, 96, 45, 94: nicht möglich, da zweimal 4 in 5. Spalte

Auch mit der 4 kommen wir also in der 5. Spalte nicht weiter.

51, 02, 53, 04, 55, 06: nicht möglich, da zweimal 5 in 5. Spalte
53, 06, 59, 12, 65, 18: nicht möglich, da zweimal 5 in 5. Spalte
57, 14, 71, 28, 85, 42: möglich
59, 18, 77, 36, 95, 54: nicht möglich, da zweimal 5 in 5. Spalte

Die 5 kann also in der 5. Spalte stehen, wenn die letzte Stelle 7 ist - das ist doch schon mal `was.

61, 22, 83, 44, 05, 66: nicht möglich, da für Spalten 5 und 6 mehr als 6 Ziffern verwendet
63, 26, 89, 52, 15, 78: nicht möglich, da für Spalten 5 und 6 mehr als 6 Ziffern verwendet
67, 34, 01, 68, 35, 02: nicht möglich, da zweimal 6 in 5. Spalte
69, 38, 07, 76, 45, 14: nicht möglich, da für Spalten 5 und 6 mehr als 6 Ziffern verwendet

Die 6 können wir also nicht an die fünfte Stelle setzen.

71, 42, 13, 84, 55, 26: nicht möglich, da für Spalten 5 und 6 mehr als 6 Ziffern verwendet
73, 46, 19, 92, 65, 38: nicht möglich, da für Spalten 5 und 6 mehr als 6 Ziffern verwendet
79, 58, 37, 16, 95, 74: nicht möglich, da zweimal 7 in 5. Spalte

Auch die 7 kann nicht in 5. Spalte stehen.

81, 62, 43, 24, 05, 86: nicht möglich, da zweimal 8 in 5. Spalte
83, 66, 49, 56, 15, 98: nicht möglich, da für Spalten 5 und 6 mehr als 6 Ziffern verwendet
87, 74, 61, 48, 35, 22: nicht möglich, da zweimal die gleiche Ziffer in einer Zeile
89, 78, 67, 56, 45, 34: nicht möglich, da für Spalten 5 und 6 mehr als 6 Ziffern verwendet

Die 8 gehört ebenfalls nicht in die 5. Spalte.

91, 82, 73, 64, 55, 46: nicht möglich, da für Spalten 5 und 6 mehr als 6 Ziffern verwendet
93, 86, 79, 72, 65, 58: nicht möglich, da zweimal 7 in 5. Spalte
97, 94, 91, 88, 85, 82: nicht möglich, da zweimal 9 in 5. Spalte

Auch die 9 können wir nicht in der 5. Spalte verwenden. Damit stehen die letzten beiden Ziffern der ersten Zeile fest: 5 und 7.

Weiter geht's mit der vierten Spalte:

057, 114, 171, 228, 285, 342: nicht möglich, da mehrmals die gleichen Ziffern in einer Zeile
157, 314, 471, 628, 785, 942: nicht möglich, da für Spalten 4, 5 und 6 mehr als 6 Ziffern verwendet
257, 514, 771, 028, 285, 542: nicht möglich, da zweimal 2 in 4. Spalte
357, 714, 071, 428, 785, 142: nicht möglich, da zweimal 7 in 4. Spalte
457, 914, 371, 828, 285, 742: nicht möglich, da die 8 zweimal in der vierten Zeile steht
657, 314, 971, 628, 285, 942: nicht möglich, da 6 zweimal in 4. Spalte
857, 714, 571, 428, 285, 142: möglich
957, 914, 871, 828, 785, 742: nicht möglich, da zweimal 9 in 4. Spalte

Damit stehen die letzten drei Stellen der Zahl N fest: 857.

Bestimmen wir die Spalte 3:

0857, 1714, 2571, 3428, 4285, 5142: nicht möglich, da die 1 doppelt in einer Zeile auftaucht
1857, 3714, 5571, 7428, 9285, 1142: nicht möglich, da die 1 mehrfach in einer Zeile auftaucht
2857, 5714, 8571, 1428, 4285, 7142: möglich
3857, 7714, 1571, 5428, 9285, 3142: nicht möglich, da zweimal 3 in der 3. Spalte
4857, 9714, 4571, 9428, 4285, 9142: nicht möglich, da zweimal 4 in der 4. Spalte
6857, 3714, 0571, 7428, 4285, 1142: nicht möglich, da zweimal 1 in letzter Zeile
9857, 9714, 9571, 9428, 9285, 9142: nicht möglich, da zweimal 9 in der 3. Spalte

Die letzten vier Stellen der ersten Zeile sind demnach: 2857.

Kommen wir zur zweiten Stelle:

02857, 05714, 08571, 11428, 14285, 17142: nicht möglich, da mehrmals 0 in der 2. Spalte
12857, 25714, 38571, 51428, 64285, 77142: nicht möglich, da zweimal die 7 in der letzten Zeile
32857, 65714, 98571, 31428, 64285, 97142: nicht möglich, da 3 zweimal in der 2. Spalte
42857, 85714, 28571, 71428, 14285, 57142: möglich
62857, 25714, 88571, 51428, 14285, 77142: nicht möglich, da zweimal 7 in letzter Zeile
92857, 85714, 78571, 71428, 64285, 57142: nicht möglich, da zweimal 7 in 2. Spalte

Die letzten fünf Stellen lauten damit: 42857.

Da die Zahl in der ersten Zeile insgesamt kleiner oder gleich 166666 sein muss, da ansonsten die letzte Zahl siebenstellig sein müsste und nicht mehr in die Spalten passen würde, bleibt nur eine 0 oder 1 für die erste Stelle der ersten Zahl übrig. Bei 042857 in der ersten Zeile steht 085714 in der zweiten und damit zweimal eine 0 untereinander. Bleibt also nur noch die 1 für die erste Spalte und somit die Zahl: 142857. Prüfen wir noch eben, ob sich tatsächlich ein Lateinisches Quadrat ergibt:

142857
285714
428571
571428
714285
857142

Tatsächlich, die Zeilen sind das 2-, 3-, 4-, 5- und 6-fache der ersten und in jeder Zeile und Spalte stehen alle 6 in der Matrix verwendeten Ziffern. Insgesamt kam eine Spende von 2 999 997 Knobeltalern zusammen. Die Rollhamster werden sich freuen.

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