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Bruchkanten

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Hier ist ein Schachbrett mit Dominosteinen gepflastert, und es ist dabei jede Trennlinie zwischen zwei benachbarten Zeilen oder Spalten (an irgendeiner Stelle) von einem Dominostein bedeckt. Geht das auch mit einem Brett aus 6 mal 6 Feldern?

Wie viele Steine müssen eine Linie mindestens überbrücken?

Da zu beiden Seiten einer Linie eine gerade Zahl von Feldern ist, muss die Zahl der Dominosteine, die eine einzelne Linie überqueren, gerade sein. Aber 0 ist natürlich zu wenig.

Da nun jeder Dominostein nur zum Überqueren einer einzigen Linie dienen kann, bräuchte man für die 10 Linien auf dem 6-mal-6-Brett 20 Steine, wir haben aber nur 18.

Allgemein gilt für ein 2n-mal-2n-Brett: man hat 2n2 Dominosteine und muss 4n–2 Linien überbrücken, also braucht man mindestens 8n–4 Steine. Für n > 3 kann es also gehen – und für n = 4 haben wir eine Lösung in der Fragestellung gesehen. Für kleinere geradzahlige Bretter geht es aber nicht. Ungeradzahlige Bretter kann man natürlich überhaupt nicht lückenlos mit Dominosteinen belegen.

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  • Quellen
Honsbergers Gems I (Edelsteine), Aufgabe 6.6.

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