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Das bcc-Gitter und seine Seitz-Wigner-Zelle

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Im kubisch-raumzentrierten Kristallgitter (bcc = body-centered cubic) sitzen die Atomkerne an den Ecken und den Mittelpunkten eines Würfelgitters. Wo sind von einem Atom aus gesehen die nächsten, wo die übernächsten Nachbarn? Welche Polyeder bilden diese? Wie sieht das Polyeder aus, das ein einzelnes Atom umgibt und dessen Oberfläche es von seinen Nachbarn trennt (Seitz-Wigner-Zelle)?

Wenn man Apfelsinen so stapelt wie im vorgegebenen Gitter und dann die Zwischenräume durch allseitig gleichmäßiges Drücken beseitigt, nehmen die Apfelsinen theoretisch die Form der Seitz-Wigner-Zellen an, bilden also Polyeder, mit denen man den Raum lückenlos voll-stapeln kann. Wenn die Atome untereinander gleich sind, was ihre Größen, aber auch ihre gegenseitigen Positionen angeht, so kommt eine einzige Sorte von deckungsgleichen Polyedern heraus.

Wenn die Atomkerne nur an den Ecken und nicht auch noch in den Mitten der Würfel säßen, wären die Seitz-Wigner-Zellen einfach Würfel (die übrigens die einzigen regulären raumfüllenden Polyeder sind).

Die Flächen der Seitz-Wigner-Polyeder sind Stücke von Symmetrieebenen zwischen je zwei nächst-benachbarten Atomkernen, manchmal (so auch hier) aber auch solche zwischen zwei übernächst-benachbarten.

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Die nächsten Nachbarn eines Atoms sind die 8 Ecken des Würfels, in xdessen Mitte es sitzt, aber die übernächsten Nachbarn sind die 6 Ecken eines (sozusagen größeren) Oktaeders:

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Alle 14 Nachbarn zusammen bilden die Ecken eines Rhombendodekaeders.

Für die Seitz-Wigner-Zelle betrachten wir zunächst die 8 Symmetrieebenen zu den 8 nächsten Nachbarn: Sie bilden ein (kleineres) Oktaeder, aber es ragt aus dem Würfel, dessen Ecken die 8 Nachbarn sind, durch alle 6 Flächen hinaus. Diese Flächen sind gerade die Symmetrieebenen zischen dem als zentral gewählten Atomkern und seinen 6 übernächsten Nachbarn.

In der folgenden Animation sind die 9 dicken Punkte die Atommitten, und die kleinen Kreise die Mitten auf den Verbindungslinien zwischen nächsten bzw. zwischen übernächsten Nachbarn. Diese liegen natürlich mitten auf den Flächen der Seitz-Wigner-Polyeder.

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Das Schnittvolumen hat also die Gestalt eines Oktaederstumpfes. Dieser hat 14 Flächen (es sind nämlich 14 nächste und übernächste Nachbarn), und zwar 8 Sechsecke (zu den nächsten Nachbarn) und 6 Quadrate (zu den übernächsten). Er hat 24 Ecken, die alle gleich sind, denn an jeder treffen sich 1 Viereck und 2 Sechsecke (Symbol: 466). Die 36 (= 14 + 24 – 2) Kanten sind alle gleich lang (denn sie müssen ja an die des Nachbarn passen).

Der Oktaederstumpf (466) ist das einzige raumfüllende (d. h. lückenlos 3-dimensional stapelbare) archimedisch-halbreguläre Polyeder.

Ein Modell mit Atommitten aus Stahlkugeln, Bindungsachsen aus magnetischen Stäben und der Seitz-Wigner-Zelle aus Karton können Sie hier stereoskopisch sehen:

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Wenn Sie das folgende Bild anklicken, bewegt es sich:

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

In diesem Modell aus Trinkhalmen (stabilisiert mit Schaschlikstäben und Blumendraht) sind die Oktaederstümpfe grün, einige Verbindungen nächster Nachbaratome rot und die Würfel, nach denen das Gitter benannt ist, wahlweise gelb oder blau.

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Es gibt aber auch ein catalansches halbreguläres Polyeder, das diese Eigenschaft hat, nämlich das Rhombendodekaeder (aus 12 deckungsgleichen Rauten). Es tritt als Seitz-Wigner-Zelle bei einem anderen Kristallgitter auf (wo, verrate ich in dieser Aufgabe nicht). Zwischen beiden Gittern besteht eine bemerkenswerte Wechselbeziehung, denn die nächsten und übernächsten Nachbarn bilden, wie schon erwähnt, beim bcc-Gitter die Ecken eines solchen Rhombendodekaeders.

Anmerkung für Experten: Falls Sie in der Festkörper-Physik gelernt haben, dass die 1. Brillouin-Zone des bcc-Gitters ein Rhombendodekaeder ist, sollte Sie das nicht verwirren: Die 1. Brillouin-Zone ist die Seitz-Wigner-Zelle im "reziproken Raum".

Können Sie möglichst einfach bestimmen, welchen Volumen-Anteil die Seitz-Wigner-Zelle an dem Würfel im bcc-Gitter hat?

In dem Würfel befindet sich das zentrale Atom ganz, die Atome in den 8 Ecken jeweils zu einem Achtel. Der Würfel beherbergt also 2 ganze Atome, davon eins in der fraglichen Seitz-Wigner-Zelle. Anders gesagt: Der Würfel besteht aus 1/1 + 8/8 = 2 Seitz-Wigner-Zellen. Die Antwort ist somit: 50%. Hier können Sie sehen, wie die Rhombendodekaeder jedes Atom bis zu den Nachbaratomen als Ecken umgeben, wie die Oktaederstümpfe es jeweils bis zum halben Weg zu diesen im bcc-Gitter umgeben und wie beide Polyeder sich einzeln lückenlos nach allen Seiten stapeln lassen:

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
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