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Hemmes mathematische Rätsel: Das Dreieck auf dem Schachbrett

Man zeichnet ein Dreieck auf ein riesiges Schachbrett. Können Sie daraus ermitteln, wie groß der weiße und der schwarze Anteil sind?
Schachbrett-Muster

Das populärwissenschaftliche britische Magazin »New Scientist« erscheint seit 1956 jede Woche. Von 1967 bis 1977 enthielt es die Kolumne »Tantalizer« (= Peiniger) mit mathematischen und logischen Rätseln, die von Martin Hollis geschrieben wurden. Abgelöst wurden die Tantalizers von den Puzzles, die zwischen Mai 1977 und Februar 1979 wöchentlich im »New Scientist« erschienen. Seit dem 22. Februar 1979 findet man in dem Magazin eine Denksportkolumne mit dem Titel »Enigma« (= Rätsel), die einige Jahre lang von Eric Emmet, Martin Hollis und Stephen Ainley geschrieben wurde. Die Kolumne lief fast 35 Jahre lang, wenn auch die Autoren mehrfach wechselten. Am 28. Dezember 2013 erschien das 1780. und letzte »Enigma«. Das »Enigma« vom 26. August 2000 stammt von Keith Austin.

Ein riesiges Schachbrett hat 100 000×100 000 Felder, die alle eine Seitenlänge von einem Zentimeter haben. Das untere linke Feld ist schwarz. Auf dieses Schachbrett wird ein Dreieck gezeichnet. Der erste Eckpunkt dieses Dreiecks liegt auf der unteren linken Ecke des Brettes, der zweite am unteren Rand des Brettes im Abstand von 97 531 cm von der ersten Ecke und der dritte am linken Rand des Brettes im Abstand von 13 579 cm von der ersten Ecke. Um wie viel Quadratzentimeter ist der schwarze Anteil der Dreiecksfläche größer als der weiße?

Zeichnet man auf ein Schachbrett ein Rechteck, dessen Ecken alle auf Ecken der Schachfelder liegen, so hat es genauso viele schwarze wie weiße Felder, wenn mindestens eine der Seiten des Rechtecks geradzahlig ist. Wenn aber beide Seiten des Rechtecks ungeradzahlig sind, hat es von einer Farbe ein Feld mehr als von der anderen Farbe.

Setzt man ein Rechteck mit den Seitenlängen 97 531 und 13 579 in die linke untere Ecke des Schachbretts, hat es ein schwarzes Feld mehr als weiße Felder. Schneidet man dieses Rechteck entlang einer Diagonalen von oben links nach unten recht durch, entstehen zwei Dreiecke, von denen das linke das Dreieck aus der Aufgabe ist. Beide Dreiecke sind gleich groß und auch völlig gleichartig gemustert. Somit ist die Größe der schwarzen Fläche bei beiden Dreiecken um ein halbes Feld = 12 cm2 höher als die der weißen Fläche.

Das Dreieck auf dem Schachbrett

In der Skizze ist ein Rechteck der Größe 7×9 auf einem gewöhnlichen Schachbrett zu sehen, das sich aber genauso verhält wie das große Dreieck auf dem Riesenschachbrett.

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