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Hemmes mathematische Rätsel: Das geteilte Quadrat

Wie groß sind die vier Flächen, wenn das Quadrat die Seitenlänge eins hat?
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Der Kanadier Edward Barbeau wurde 1938 geboren und ist emeritierter Mathematikprofessor der Universität Toronto. Er schrieb eine Reihe von Büchern mit mathematischen Knobeleien. Aus seinem 1995 erschienenen Werk After Math stammt die folgende Aufgabe.

Ein Quadrat der Seitenlänge 1 ist durch zwei Geraden in drei Dreiecke und ein Viereck unterteilt worden. Die eine Gerade verbindet zwei sich gegenüber liegende Ecken des Quadrats und die zweite eine Ecke mit dem Mittelpunkt einer ihr gegenüberliegenden Seite. Wie groß sind die Inhalte der vier Flächen?

Die Diagonale halbiert das Quadrat. Darum gilt für die Inhalte A, B, C und D der vier Flächen B + C = 12 und A + D = 12. Die zweite Linie ist eine Diagonale eines Rechtecks der Länge 1 und der Breite 12. Somit ist A + B = 14.

Das geteilte Quadrat

Die beiden Dreiecke A und C sind ähnlich. Da die Grundseite des Dreiecks C doppelt so lang ist wie Grundseite wie des Dreiecks A, ist seine Fläche viermal so groß wie die von A, das heißt C = 4A. Dies wird in die erste Gleichung eingesetzt und man erhält B + 4A = 12. Zieht man hiervon die dritte Gleichung ab, erhält man nach einer kleinen Umformung A = 112. Nun kann man auch B, C und D leicht bestimmen und bekommt B = 16, C = 13 und D = 512.

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