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Hemmes mathematische Rätsel: Das Grashalmorakel

Ein Seemannsknoten leuchtet im AbendlichtLaden...

Die russischen Zwillingsbrüder Akiwa Moissejewitsch und Isaak Moissejewitsch Jaglom wurden 1921 in Charkiw in der Ukraine geboren. Ab 1938 studierten sie an der Lomonossow-Universität in Moskau: Isaak Mathematik und Akiwa Mathematik und Physik. Isaak starb 1988 in Moskau. Sein Bruder zog vier Jahre später in die USA, um am MIT zu arbeiten. Er starb 2007 in Boston. 1954 veröffentlichten die beiden Brüder gemeinsam ein zweibändiges Buch über unterhaltsame mathematische Probleme, das 1964 auch auf Englisch unter dem Titel »Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions« erschien. Aus dem ersten Band dieses Buches stammt folgendes Problem:

In einigen ländlichen Gegenden Russlands soll früher einmal folgende Wahrsagemethode sehr beliebt gewesen sein: Ein Mädchen hält sechs lange Grashalme in der Faust, so dass die Enden oben und unten herausragen. Ein zweites Mädchen verknotet dreimal jeweils zwei obere Enden, wobei es die Paare beliebig auswählt. Danach macht es das Gleiche mit den unteren Enden der Halme. Dann öffnet das erste Mädchen die Faust. Bilden die Grashalme nun einen einzigen großen Ring, bedeutet dies, dass das zweite Mädchen innerhalb eines Jahres heiraten wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Halme nach dem Verknoten einen Ring bilden?

Unabhängig davon, wie die oberen Enden verknotet sind, können die sechs Grashalme immer so angeordnet werden, wie es die Abbildung zeigt. Man braucht somit nur noch die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass ein beliebiges paarweises Verknoten der unteren Enden einen Ring ergibt.

Das Grashalmorakel

Wird das Ende A mit dem Ende B verbunden, kann kein einzelner großer Ring mehr entstehen. Wird es jedoch mit C, D, E oder F verknotet, bleibt diese Ringbildung möglich. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der ersten Verknotung kein Missgeschick passiert, beträgt als 45. Angenommen A würde mit C verknotet. (Die Enden D, E und F sind aus Symmetriegründen völlig gleichwertig.) Dann blieben für B noch die Enden D, E und F übrig. Falls B mit D verbunden würde, könnte kein großer Ring mehr entstehen, wohl aber in den beiden anderen Fällen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Verknotung nicht falsch ist, beträgt somit 23. Für D bliebe jetzt nur noch ein Ende übrig. Insgesamt beträgt also die Wahrscheinlichkeit, dass beim paarweisen Verknoten der Halme ein Ring entsteht, (45) · (23) = 815 ≈ 53,3%.

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