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Hemmes mathematische Rätsel: Das größte Trapez

Das rote Trapez soll möglichst groß sein. In welchem Punkt berührt die Schnittkante den Viertelkreis und welchen Flächenanteil hat das Trapez?
Das größte Trapez

1994 veröffentlichten die beiden Mathematiker R. H. Eddy und R. Fritsch in der amerikanischen Zeitschrift »The College Mathematics Journal« Berechnungen der Minimalfläche zwischen konvexen Kurven und ihren Tangenten. Ein Jahr später fiel dem Mathematiker Robert Paré auf, dass für diese Berechnung keinerlei Infinitesimalrechnung notwendig ist. Manfred Pietsch vom Stiftischen Gymnasium in Düren hat 2017 das ursprüngliche Problem von Eddy und Fritsch zu einer Denksportaufgabe vereinfacht.

Aus einem 2 Meter langen und 1 Meter breiten Brett wurde ein Viertelkreis gesägt. Aus dem Reststück soll durch einen geraden Sägeschnitt ein trapezförmiges Brett mit möglichst großem Flächeninhalt geschnitten werden. In welchem Punkt berührt die Schnittkante den Viertelkreis und welchen Flächenanteil hat das Trapez?

Das größte Trapez

Der Punkt M liegt in der Mitte der schrägen, blauen Seite des Trapezes. Schneidet man in Höhe des Punktes M vom Trapez parallel zu seiner Grundseite ein dreieckiges Stück ab und fügt es kopfstehend unterhalb der Schnittlinie wieder an das Trapez, entsteht das grün umrandete Rechteck, das den gleichen Flächeninhalt hat wie das Trapez.

Berührt die schräge Seite des Trapezes den Viertelkreis an einer anderen Stelle, verschiebt sich der Mittelpunkt M senkrecht zur Grundseite nach oben oder nach unten. Je höher M liegt, umso größer ist die Fläche des grünen Rechtecks und damit auch die des Trapezes. Der höchstmögliche Ort für M ist der Punkt P, der genau auf dem Kreisbogen liegt.

Das größte Trapez

Für die Strecke x gilt nach dem Satz des Pythagoras x2 = 12 – (½)2, was zu x = ½√3 führt. Damit wird der größtmögliche Flächeninhalt des Rechtecks und somit auch der des Trapezes zu (2 – ½√3) • 1 ≈ 1,13397 m2.

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