Hemmes mathematische Rätsel: Das Lo-Shu
Ein magisches Quadrat N-ter Ordnung ist ein quadratisches Raster mit N×N Feldern, auf die die Zahlen von 1 bis N2 so verteilt sind, dass die Summe der N Zahlen in jeder Zeile, in jeder Spalte und in den beiden Diagonalen jeweils gleich ist. Das magische Quadrat erster Ordnung ist trivial, weil es nur aus einem einzelnen Feld, das die Ziffer 1 enthält, besteht. Ein magisches Quadrat zweiter Ordnung mit 2×2 Feldern und den Zahlen von 1 bis 4 kann es nicht geben, was sich auch leicht beweisen lässt. Für alle Werte von N, die größer sind als 2, existieren allerdings magische Quadrate.
Für N = 3 sind es insgesamt acht verschiedene Formen, die sich jedoch alle durch Drehungen oder Spiegelungen ineinander umwandeln lassen. Dieses magische Quadrat kannte man bereits im 4. Jahrhundert v. Chr. in China unter dem Namen Lo-Shu. Nach chinesischer Überlieferung soll es bereits um 2800 v. Chr. gefunden worden, was aber vermutlich nicht stimmt.
Wie sieht das Lo-Shu aus?
Die Summe der Zahlen von 1 bis 9 beträgt 45. Da sich diese Zahlen auf drei Reihen verteilen, muss die Summe in jeder Reihe 45/3 = 15 ergeben. Es gibt insgesamt acht Möglichkeiten, mit drei verschiedenen Zahlen aus dem Bereich von 1 bis 9 die Summe 15 zu erhalten:
9 + 5 + 1
9 + 4 + 2
8 + 6 + 1
8 + 5 + 2
8 + 4 + 3
7 + 6 + 2
7 + 5 + 3
6 + 5 + 4
Da das Lo-Shu drei Zeilen, drei Spalten und zwei Diagonalen, also insgesamt acht Reihen hat, kommen alle die acht Möglichkeiten auch vor. Das mittlere Feld des Loh-Shus gehört zu vier Reihen. Da die 5 die einzige Zahl ist, die bei vier Möglichkeiten auftaucht, muss sie auf dem Mittelfeld stehen. Die vier Eckfelder des Lo-Shus gehören zu jeweils drei Reihen. Die 9 und die 7 kommen bei den acht Möglichkeiten nur jeweils zweimal vor und können deshalb keine Eckfelder besetzten. Sie mit also auf Seitenmittenfeldern stehen, die sich nicht gegenüberliegen dürfen. Damit lassen sich nun alle neun Zahlen eindeutig auf die Felder verteilen, wenn man davon absieht, dass gedrehte oder gespiegelte Muster als unterschiedlich zählen.
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