Direkt zum Inhalt

Hemmes mathematische Rätsel: Das magische Widerstandsquadrat

Wie wäre es, beim magischen Quadrat statt der gewöhnlichen Summen, die Summen der Kehrwerte zu betrachten?
Widerstandsquadrat

Das magische Quadrat Loh Shu ist ein Raster aus 3×3 Feldern, in denen die Zahlen von 1 bis 9 so verteilt sind, dass ihre Summen in jeder Zeile, jeder Spalte und der beiden Diagonalen gleich sind. Diese Reihensumme wird magische Konstante genannt und hat beim Loh Shu den Wert 15. Abgesehen von Drehungen und Spiegelungen des Musters ist die Verteilung der neun Zahlen eindeutig. Das Loh Shu war bereits im 4. Jahrhundert vor Christus in China unter diesem Namen bekannt. Nach chinesischer Überlieferung soll es bereits um 2800 vor Christus gefunden worden, was aber vermutlich nicht stimmt.

Der 1944 geborene englische Elektroingenieur Lee Sallows lebt seit 1970 in Nimwegen in den Niederlanden. Er ist ein weltweit anerkannter Experte für magische Figuren aller Art. Eine seiner Erfindungen ist das magische Widerstandsquadrat.

Bei einem magischen Widerstandsquadrat liegt auf jedem der neun Felder eines 3×3-Quadrats ein elektrischer Widerstand. Alle neun Widerstände haben unterschiedliche ganzzahlige Werte in Ohm. Schaltet man die jeweils drei Widerstände einer Zeile, einer Spalte oder einer Diagonalen parallel, erhält man stets den gleichen ganzzahligen Gesamtwiderstand in Ohm. Wie groß sind die neun Widerstände?

Erinnerung: Werden drei Widerstände R1, R2 und R3 parallel geschaltet, so ist der Gesamtwiderstand R nicht die Summe der drei Widerstände, sondern die Summe der Kehrwerte der Widerstände ist der Kehrwert des Gesamtwiderstands: 1/R = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3.

Werden drei Widerstände R1, R2 und R3 parallel geschaltet, hat der Kehrwert des Gesamtwiderstands R die Größe 1/R = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3. Ersetzt man im Loh Shu jede Zahl durch ihren Kehrwert in Ohm, hat man neun Widerstände gefunden, die, wenn man sie in jeder Zeile, jeder Spalte und den beiden Diagonalen parallel schaltet, stets den gleichen Gesamtwiderstand von 1/15 Ohm ergeben.

Allerdings sind die Widerstandswerte nicht, wie gefordert, ganzzahlig. Das kann man aber leicht ändern, indem man alle Widerstandswerte mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) der Nenner multipliziert. Dieses kgV beträgt 5 • 7 • 8 • 9 = 2520. Dadurch erhält man ein magisches Widerstandsquadrat mit einem Gesamtwiderstand pro Reihe von 2520/15 = 168 Ohm.

Das magische Widerstandsquadrat

Das ist jedoch nicht das Widerstandsquadrat mit dem kleinstmöglichen Gesamtwiderstand. Dieses ist bedeutend schwieriger zu finden und hat einen Gesamtwiderstand von nur 120 Ohm.

Das magische Widerstandsquadrat

Schreiben Sie uns!

Beitrag schreiben

Wir freuen uns über Ihre Beiträge zu unseren Artikeln und wünschen Ihnen viel Spaß beim Gedankenaustausch auf unseren Seiten! Bitte beachten Sie dabei unsere Kommentarrichtlinien.

Tragen Sie bitte nur Relevantes zum Thema des jeweiligen Artikels vor, und wahren Sie einen respektvollen Umgangston. Die Redaktion behält sich vor, Zuschriften nicht zu veröffentlichen und Ihre Kommentare redaktionell zu bearbeiten. Die Zuschriften können daher leider nicht immer sofort veröffentlicht werden. Bitte geben Sie einen Namen an und Ihren Zuschriften stets eine aussagekräftige Überschrift, damit bei Onlinediskussionen andere Teilnehmende sich leichter auf Ihre Beiträge beziehen können. Ausgewählte Zuschriften können ohne separate Rücksprache auch in unseren gedruckten und digitalen Magazinen veröffentlicht werden. Vielen Dank!

Partnerinhalte