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Das orthozentrische System

Treitz-Rätsel

Wo liegen die Höhenschnittpunkte der Dreiecke \(HBC\), \(AHC\) und \(ABH\), wenn \(H\) der Höhenschnittpunkt von \(ABC\) ist? Zeigen Sie bitte: \(ABC\), \(HCB\), \(AHC\) und \(ABH\) haben gleich große Umkreise, und deren Mittelpunkte liegen zentrisch-symmetrisch zu \(H\) bzw. \(A\), \(B\), C. Geben Sie das Zentrum dieser Symmetrie an.

Der (auch nach Feuerbach benannte) Neunpunktekreis geht durch die drei Höhenfußpunkte und durch die Seitenmitten.

Ist \(H\) der Höhenschnittpunkt zu \(ABC\), so liegen \(AH\) rechtwinklig zu \(BC\), \(BH\) zu \(AC\) und \(CH\) zu \(AB\): Die 6 Geraden bilden 3 Paare von jeweils zueinander rechtwinkligen Geraden. Jeder der 4 Punkte ist also der Höhenschnittpunkt in dem Dreieck mit den drei anderen als Ecken. Eine solche Versammlung von 4 Punkten (in einer Ebene) nennt man ein orthozentrisches System (im Englischen wird der Höhenschnittpunkt als "orthocenter" bezeichnet).

Übrigens bilden die Mittelpunkte des Inkreises und der Ankreise eines jeden Dreiecks ein orthozentrisches System, wie man leicht überlegen kann, die Ecken des ursprünglichen Dreiecks sind die Höhenfußpunkte des Dreiecks aus den Ankreismittelpunkten (siehe auch das Rätsel Beltrami).

Da der Neunpunktekreis durch die Seitenmitten eines Dreiecks geht, hat er den halben Radius des jeweiligen Umkreises. Da wegen der gemeinsamen Höhenfußpunkte die vier Dreiecke \(ABC\), \(HBC\), \(AHC\) und \(ABH\) ein und denselben Neunpunktekreis haben, sind ihre Umkreise gleich groß, nämlich jeweils vom doppelten Radius wie dieser.

Das ist der Satz von Johnson: Schneiden sich 3 gleich große Kreise in einem Punkt, so liegen die anderen drei Schnittpunkte von je zweien dieser Kreise auf einem Kreis (soweit selbstverständlich, aber nun:) von dem gleichen Radius wie diese.

Eine (andere) Beweisidee für diesen Satz stammt von Bernhart und wird von uns gleich für eine weitere Behauptung verwendet: Wir verdoppeln das Bild (in Rot) durch eine Punktspiegelung am Mittelpunkt des Neunpunktekreises und ziehen 12 Strecken, die wie ein Schrägbild eines Parallelepipeds gesehen werden können, in der Ebene (in der sich hier alles abspielt) aber gleich lang sind (nämlich wie die Radien aller 8 Umkreise) und zu viert dreierlei gemeinsame Richtungen haben:

Die 4 Umkreismittelpunkte zum orthozentrischen System sind also selbst ein solches, und sie liegen bezüglich des allen 8 Dreiecken gemeinsamen (!) Neunpunktekreises punktsymmetrisch zum ersten orthozentrischen System.

Der Neunpunktekreis zu einem orthozentrischen Viereck \(ABCH\) und den daraus bestehenden vier Dreiecken \(ABC\), \(ABH\), \(AHC\) und \(HBC\) geht also durch 25 bemerkenswerte Punkte:

  • drei Höhenfußpunkte, die allen vier Dreiecken gemeinsam sind,
  • sechs Mittelpunkte der Strecken \(AB\), \(BC\), \(CA\), \(AH\), \(BH\) und \(CH\), die in den Dreiecken mit wechselnden Rollen als Seitenmitten und Euler-Punkte vorkommen,
  • vier Inkreismittelpunkte und
  • zwölf Ankreismittelpunkte.

Manchmal fallen mehrere dieser Punkte zusammen.

Besonders symmetrisch ist es natürlich, wenn eins der Dreiecke gleichseitig ist:

Was bekommt man, wenn man ein Dreieck mitsamt seinem Umkreis an seinem Inkreis invertiert? Mit Inversion ist gemeint, dass man jeden Punkt vom Mittelpunkt des Bezugskreises (Radius \(R\)) aus so abbildet, dass seine Polarkoordinaten \((r,\varphi)\) zu \((R^2/r, \varphi)\) werden.

Hier ist die Inversion des Dreiecks an seinem Inkreis: Die Seiten berühren ihn und werden zu Kreisen durch den Inkreismittelpunkt (denn alle Geraden werden in Kreise durch das Inversionszentrum abgebildet). Der Umkreis geht per definitionem durch die Ecken, sein Bild also durch die paarweise Schnittpunkte der Bilder der Seiten. Wie wir gesehen habe, sind das 4 gleich große Kreise.

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