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Das spitzeste Dreieck

Dreieck mit WinkelnLaden...

Wenn man einen Winkel eines gleichschenkligen Dreiecks besonders spitz wählt, nähern die anderen beiden sich rechten Winkeln.

Um das "spitzeste Dreieck" zu finden, wählen wir den Cosinus der drei Dreieckswinkel als Schiedsrichter, und zwar einmal das Produkt der drei Cosinuswerte (\(\cos\alpha\cdot\cos\beta\cdot\cos\gamma\) ), und zum Anderen die Summe der drei Cosinusquadrate (\(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma\) ).

Damit das Ganze überschaubar bleibt, beschränken wir uns außerdem auf die gleichschenkligen Dreiecke. Für welche Scheitelwinkel nehmen diese beiden Funktionen Extremwerte oder sonstige besondere Werte an?

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R. Kooistra hat gezeigt (Nieuw Tijdschr. Wisk. 45, 108-115, 1957/58), dass die Werte der beiden Funktionen (Produkt und Quadratsumme der Cosinus der drei Winkel) auch für beliebige spitzwinklige bzw. stumpfwinklige Dreiecke in denselben Intervallen liegen wie im gezeigten Spezialfall gleichschenkliger Dreiecke. Die extremen Werte bekommen wir einerseits als –1 bzw. 3 für den Grenzfall eines gestreckten und zweier verschwindender Winkel und andererseits als 0 bzw. 1 für den Grenzfall mit einem verschwindendem Winkel. Diese beiden treten aber auch für das rechtwinklige Dreieck auf. Die Extremwerte dazwischen, nämlich 1/8 bzw. 3/4, bekommen wir für das gleichseitige Dreieck, das sich also gewissermaßen besonders spitzwinklig verhält, indem es besonders stark von den stumpfwinkligen Dreiecken abweicht.

Tatsächlich ist der Cosinus umso größer, je spitzer ein Winkel ist. Da nun mehrere Winkel nicht unabhängig voneinander sind, können die Produkte oder die Quadratsummen bedeutsam werden. Das gleichseitige Dreieck ist in dieser Hinsicht sozusagen ein Kompromiss, bei dem alle Winkel gleichermaßen so spitz wie möglich sind.

Gefunden habe ich die Intervalle in dem Buch "Geometric Inequalities" von Otto Bottema und anderen, das fast ganz von Dreiecken handelt.

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  • Quellen
Otto Bottema et al.: Geometric Inequalities. Wolters-Noordhoff Publishing, 1968

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