Das undichte Fass
Der Boden eines Fasses ist anscheinend undicht. Es dauert eine Stunde, bis das volle Fass bis zur Hälfte ausgelaufen ist. Nun wird ein Loch gefunden und gestopft, und das Fass wird wieder voll gefüllt. Leider zeigt es sich, dass es nach 3 Stunden wieder halb leer gelaufen ist. Offenbar ist da noch ein zweites Loch. Wie lange würde es dauern, bis das volle Fass halb leer läuft, wenn man dieses Loch gestopft und das andere nicht gefunden hätte?
Durch das bisher nicht entdeckte Loch fließt (im Zeitmittel über die Dauer des Auslaufens der oberen Hälfte) 1/6 Füllung pro Stunde, durch beide zusammen 1/2 Füllung pro Stunde. Durch das andere Loch fließt also die Differenz 1/3 Füllung pro Stunde. Die gesuchte Zeitdauer ist also 1,5 Stunden.
Das Auslaufen ist durchaus ungleichmäßig, bei halber Füllhöhe geschieht es nur noch halb so schnell wie bei ganzer (Gesetz von Hagen und Poiseuille). Da wir aber immer die gleichen Anfangs- und End-Füllstände genommen haben, hebt sich dieser Effekt aus unserer Rechnung heraus. Das völlige Auslaufen eines Fasses würde hingegen theoretisch unendlich lange dauern, und praktisch wäre der Zeitpunkt des Leerwerdens sehr ungenau bestimmbar, am besten, indem man sich auf eine Rest-Füllung bezieht (etwa 1% oder 10%).
Mathematisch haben wir es mit der Addition von Kehrwerten zu tun. Das Entladen eines Kondensators durch 1 bis 2 zueinander parallel geschaltete Widerstände ist eine Analogie mit genau dem gleichen Rechenweg.
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