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Hemmes mathematische Rätsel: Der dritte Kreis

Der erste Kreis hat den Radius 10 und der zweite 8. Durch den äußeren Schnittpunkt des ersten Kreises mit der Geraden läuft eine zweite Gerade, die den zweiten und auch den dritten Kreis tangiert. Wie groß ist der Radius des dritten Kreises?
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Bernd Hülsmann aus Jülich in Nordrhein-Westfalen erdachte sich 2015 ein geometrisches Rätsel, das er in den beiden Aachener Tageszeitungen veröffentlichte.

Drei Kreise, deren Mittelpunkte auf einer Geraden liegen, stoßen mit ihren Umfängen aneinander. Der erste Kreis hat den Radius 10 und der zweite 8. Durch den äußeren Schnittpunkt des ersten Kreises mit der Geraden läuft eine zweite Gerade, die den zweiten und auch den dritten Kreis tangiert. Wie groß ist der Radius des dritten Kreises?

In jedem Punkt eines Kreisumfangs stehen der Radius und die Tangente senkrecht zueinander. Folglich liegen der Radius des zweiten und der des dritten Kreises zu den Berührungspunkten der gemeinsamen Tangente parallel zueinander. Somit gilt nach dem Strahlensatz r/(10+10+8+8+r) = 8/(10+10+8), was sich zu r/(36+r) = 8/28 zusammenfassen lässt. Löst man die Gleichung nach r auf, erhält man r = 72/5 = 14,4.

Der dritte Kreis

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