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Hemmes mathematische Rätsel: Der Fahrradhändler

Neue Materialien machen Fahrräder leichter und robusterLaden...

Hubert Phillips wurde 1891 in England geboren. Er studierte Wirtschaftswissenschaften und Geschichte und leitete einige Jahre lang die Fakultät für Ökonomie der Universität Bristol. Ab 1930 wechselte er zum Journalismus. Er erfand Tausende von mathematischen und logischen Knobeleien und entwarf mehr als 6000 Kreuzworträtsel, die er in verschiedenen Zeitungen veröffentlichte; und er schrieb über 70 Bücher. Die BBC sendete viele Jahre seine Quizradiosendungen. Er war der Gründer und der erste Herausgeber der »British Bridge World« und organisierte Bridge-Wettbewerbe. Hubert Phillips starb 1964 im Alter 73 Jahren. Aus seinem 1961 in New York erschienenen Buch »My Best Puzzles in Mathematics« stammt folgende Aufgabe:

Mr. Egbert Enterprise kaufte von der Armee einen Posten ausgedienter Fahrräder zum Preis von sieben Dollar pro Rad, die er im Lauf der nächsten neun Monate alle wieder verkaufte. Der Absatz war zunächst schleppend. Doch als er ab dem zweiten Monat den Preis pro Rad monatlich um jeweils einen Dollar reduzierte, verkaufte er in jedem Monat vier Räder mehr als im Vormonat. Der Preis pro Rad war stets ein ganzzahliger Dollarbetrag. Seine Einnahmen für alle Fahrräder betrugen 3153 Dollar. In welchem Monat hatte er den größten Gewinn, und hoch war er?

Wenn Mr. Enterprise im fünften Monat M Fahrräder zu je N Dollar verkaufte, hatte er in dem Monat Einnahmen von MN Dollar. Daraus kann man leicht die Einnahmen der anderen acht Monate herleiten.

Im ersten Monat nahm er (M–16)(N+4) Dollar ein, im zweiten (M–12)(N+3) und so weiter und im neunten (M+16)(N–4). Addiert man diese neun Terme, erhält man seine Gesamteinnahme. Mit einem kleinen Kunstgriff lassen sich die Terme leicht zusammenfassen. Zu jedem Term der Form (M+X)(N–Y) gibt es auch einen der Form (M–X)(N+Y). Multipliziert man sie beide aus und addiert sie, erhält man 2(MN–XY).

Mr. Enterprises Gesamteinnahmen betrugen somit 2(MN − 16 · 4) + 2(MN − 12 · 3) + 2(MN − 8 · 2) + 2(MN − 4 · 1) + MN. Der letzte Summand ist die Einnahme des fünften Monats. Dieser Ausdruck lässt sich zu 9MN − 240 vereinfachen. Da in der Aufgabe gesagt wurde, dass er insgesamt 3153 Dollar einnahm, folgt daraus, dass 9MN − 240 = 3153 ist. Dies kann man zu MN = 377 umformen.

Da der Fahrradpreis stets ganzzahlig war, muss 377 das Produkt zweier ganzer Zahlen sein. Dafür gibt es nur die beiden Möglichkeiten 1 · 377 und 13 · 29. Die erste Möglichkeit scheidet aus, weil dabei in den meisten Monaten entweder negative Verkaufszahlen oder negative Preise entstünden, was aber unmöglich ist. Bei der zweiten Möglichkeit, kann M nicht 13 sein, da er im neunten Monat mindestens 16 Räder verkaufte.

Also gilt M = 29 und N = 13. Daraus kann man nun leicht erst die monatlichen Einnahmen und dann die monatlichen Gewinne bestimmen: 130, 153, 168, 175, 174, 165, 148, 123 und 90 Dollar. Der höchste monatliche Gewinn betrug also 175 Dollar und wurde im vierten Monat erwirtschaftet.

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