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Hemmes mathematische Rätsel: Der gestutzte Würfel

Der ursprüngliche Würfel hatte eine Kantenlänge von 6 cm. Wie groß sind das Volumen und die Oberfläche dieses gestutzten Würfels?
Der gestutzte Würfel

Thomas Jahre wurde 1956 geboren und ist Lehrer für Mathematik, Physik und Informatik am Chemnitzer Schulmodell. Seit einigen Jahren schreibt er regelmäßig in mehreren Sprachen einen Newsletter mit dem Titel Wochenaufgabe, der mathematische Knobeleien enthält. Er wird in vielen Ländern von Schülerinnen und Schülern, aber auch von anderen Mathematikbegeisterten im Alter von 10 bis 79 Jahren gelesen. Inzwischen sind über 500 Wochenaufgaben erschienen, die man auch alle im Internet finden kann. Thomas Jahre wurde für sein Engagement für die Mathematik von der Deutschen Mathematikervereinigung zum Mathemacher der Monate August/September 2016 gekürt. Das heutige Rätsel ist seine leicht veränderte 501. Wochenaufgabe.

Von einem Würfel mit einer Kantenlänge von sechs Zentimetern werden alle acht Ecken so abgeschnitten, dass von den ursprünglichen Würfelseiten sechs gleiche Quadrate übrig bleiben und die acht Schnittflächen gleiche gleichseitige Dreiecke sind. Wie groß sind das Volumen und die Oberfläche dieses gestutzten Würfels?

Haben die Kanten des Würfels die Länge a, kann man mit dem Satz des Pythagoras die Kantenlänge des gestutzten Würfels zu b = a/√2 berechnen.

Sein Volumen erhält man am einfachsten, indem man vom Würfelvolumen a3 die Volumina der acht abgeschnittenen Eckstücke abzieht. Die Eckstücke sind Pyramiden mit dreieckigen Grundflächen. In der Zeichnung kann man an der vorderen, unteren Ecke gut erkennen, dass die Grundfläche der Pyramide ein halbes Quadrat der Seitenlänge a/2 ist und somit einen Inhalt von G = a2/8 hat. Auch die Höhe hat den Wert h = a/2. Das Volumen der Pyramide beträgt folglich VP = Gh/3 = a3/48.

Somit hat der gestutzte Würfel ein Volumen von V = a3 – 8VP = 5/6 a3 = 180 cm3.

Der gestutzte Würfel

Die Oberfläche des gestutzten Würfels besteht aus den sechs gelben Quadraten und den acht rosa Dreiecken. Alle vierzehn Flächen haben die Seitenlänge b. Folglich beträgt die Oberfläche des gestutzten Würfels A = 6b2 + 8•(√3)•b2/4 = 2(3 + √3)b2. Drückt man in dieser Gleichung noch b durch a aus, wird daraus A = (3 + √3)a2 ≈ 170,35 cm2.

Dieser gestutzte Würfel wird in der Mathematik Kuboktaeder genannt. Alle seine Kanten sind gleichlang, und es besitzt eine Umkugel, auf der alle seine Ecken liegen. Das ist noch nichts Besonderes, denn es gibt viele Polyeder mit diesen Eigenschaften. Aber nur beim Kuboktaeder sind der Umkugelradius und die Kanten gleich lang.

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