Hemmes mathematische Rätsel: Der goldene Schnitt und die vier Vieren
Teilt man eine Strecke so in einen kurzen Abschnitt a und in einen langen Abschnitt b, dass das Verhältnis des langen zum kurzen Abschnitts gleich dem Verhältnis der gesamten Strecke zum langen Abschnitt ist, also b/a = (a+b)/b, bezeichnet man dieses Verhältnis als goldenen Schnitt Φ. Dieses Streckenverhältnis wird seit der Antike in der Kunst und in der Architektur verwendet und als besonders ästhetisch empfunden. Es hat den Wert Φ = ½(√5 + 1) ≈ 1,618.
1991 forderte der amerikanische Sachbuchautor Clifford A. Pickover in der englischen Mathematikzeitschrift »Theta« seine Leser auf, den Wert von Φ durch genau vier Vieren möglichst exakt darzustellen. Außer den vier Vieren durften noch zusätzlich beliebig viele Plus- und Minuszeichen, Malpunkte und Bruchstriche, Klammern, Fakultätssymbole, Wurzeln und Dezimalkommas verwendet werden. Versuchen Sie es doch auch einmal.
Man kann den goldenen Schnitt mit vier Vieren und den erlaubten mathematischen Symbolen nicht nur näherungsweise, sondern sogar exakt darstellen.
\begin{eqnarray}\phi =\frac{\sqrt{4}+\sqrt{4!-4}}{4}\end{eqnarray}
Ersetzt man 4! durch 1 • 2 • 3 • 4 = 24, sieht man nach einigen Vereinfachungen, dass der Ausdruck tatsächlich der goldene Schnitt ist.
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