Hemmes mathematische Rätsel: Der größte gemeinsame Teiler
Seit 1983 wird in den USA jährlich unter Schülerinnen und Schülern ein Mathematikwettbewerb ausgetragen, der den Namen Mathcount trägt. 1999 gaben Patrick Vennebush und Terrel Trotter ein Buch mit dem Titel »The All-Time Greatest Mathcounts Problems« heraus, in dem sie die besten 150 Aufgaben dieses Wettbewerbs zusammengestellt hatten. Aus diesem Buch stammt das folgende kleine Zahlenproblem:
Aus den neun Ziffern von 1 bis 9 werden vier verschiedene ausgewählt. Es gibt nun eine ganze Menge unterschiedlicher Möglichkeiten, aus diesen vier Ziffern vierstellige Zahlen zu bilden. Alle diese verschiedenen vierstelligen Zahlen werden addiert und ergeben die Summe S. Da es viele verschiedene Möglichkeiten gibt, vier der neun Ziffern zu wählen, kann S auch viele verschiedene Werte haben. Was ist der größte gemeinsame Teiler aller dieser Werte von S?
Die ausgewählten vier Ziffern seien a, b, c und d. Um daraus eine vierstellige Zahl zu bilden, gibt es für die Einerstelle vier Möglichkeiten. Für die Zehnerstelle bleiben dann noch drei Ziffern zur Auswahl und danach für die Hunderterstelle nur noch zwei Ziffern. Für die Tausenderstelle steht schließlich nur noch eine Ziffer zur Verfügung. Folglich lassen sich mit den vier Ziffern 4 · 3 · 2 · 1 = 24 verschiedene vierstellige Zahlen bilden.
In diesen 24 Zahlen kommt die Ziffer a jeweils sechsmal auf der Einer-, auf der Zehner-, auf der Hunderter- und auf der Tausenderstelle vor. Zur Summe S der 24 Zahlen trägt sie folglich 6(a + 10a + 100a + 1000a) = 6666a bei. Die Ziffern b, c und d liefern einen entsprechenden Beitrag. Damit wird S zu 6666(a + b + c + d).
Der Faktor (a + b + c + d) kann jeden beliebigen Wert von 10 bis 30 annehmen. Bereits die ersten beiden Werte 10 und 11 sind teilerfremd und reduzieren den größten gemeinsamen Teiler aller Faktoren (a + b + c + d) auf 1. Folglich ist der größte gemeinsame Teiler aller möglichen Werte von S die Zahl 6666.
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