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Der Inkreis im rechtwinkligen Dreieck

Treitz-Rätsel

Kann man eine einfache Formel finden für den Inkreisradius in einem rechtwinkligen Dreieck, dessen Seitenlängen bekannt sind?

Die Formel ist (mit der üblichen Zuordnung, dass \(c\) die Hypotenuse sei): \(r_{\rm Inkr} = (a + b-c)/2\), wie aus dem Bild abzulesen ist.

Wir nehmen nun zusätzlich an, dass die Längen \(a\) und \(b\) der Katheten und \(c\) der Hypotenuse ganzzahlig seien. Was folgt daraus für die Ganzzahligkeit von Fläche, Umfang und Inkreisradius?

Beim Quadrieren ganzer Zahlen werden Gerad- und Ungeradzahligkeit sozusagen vererbt. Aus \(a^2+b^2=c^2\) folgt dann, dass \(c\) genau dann ungerade ist, wenn entweder \(a\) oder \(b\) ungerade ist, aber nicht beide.

Die Differenz \(a + b-c\) ist also für alle ganzzahligen \(a\), \(b\) und \(c\) gerade, ihre Hälfte, also unser Inkreisradius ist somit ganzzahlig.

Auch der Umfang \(a + b + c\) ist stets gerade. Das Doppelte der Fläche, also \(a b = (a + b + c)\cdot r_{\rm Inkr}\) ist ganzzahlig und sogar geradzahlig, denn \(a+b+c\) ist stets gerade: Entweder sind \(a\) und \(b\) beide gerade, dann ist auch \(c\) gerade, oder genau eine der beiden Zahlen \(a\) und \(b\) ist ungerade, dann ist \(c\) ungerade und damit die Summe \(a+b+c\) wieder gerade.

Der letzte Fall "\(a\) und \(b\) ungerade" kann zwar nicht vorkommen, wie man aus der Konstruktionsformel für pythagoreische Tripel herleiten kann (aus \(a=pq\) ungerade folgt \(p\) und \(q\) ungerade und daraus \(b= (p^2-q^2)/2=(p+q)(p-q)/2 \) gerade, denn sowohl \(p+q\) als auch \(p-q\) sind gerade). Aber selbst wenn er vorkäme, wären \(c\) und damit auch \(a+b+c\) gerade.

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