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Hemmes mathematische Rätsel: Der Primzahltanz

Freunde stoßen in einer Bar mit Cocktails an Laden...

Rodolfo Kurchan wurde 1971 in der argentinischen Hauptstadt Buenos Aires geboren. Er ist ein im ganzen spanischsprachigen Süd- und Mittelamerika bekannter Rätsel- und Spieleerfinder. Im Jahr 2000 veröffentlichte er ein Rätselbuch dem Titel Diversiones con Numeros y Figuras, aus dem die folgende Aufgabe stammt.

Am Sommerfest des Mathematikerverbandes nimmt eine ungerade Anzahl n von Ehepaaren teil. Alle Namensschilder der Frauen und auch die der Männer sind jeweils von 1 bis n durchnummeriert. Beim Tanzen darf sich jede Frau ihren Partner frei wählen. Es gibt nur eine Bedingung: Die Namensschildnummern jedes Tanzpaares müssen zusammen eine Primzahl ergeben. Welche Nummer hat das Namensschild des Tanzpartners der Frau mit der Nummer 1, wenn alle Teilnehmer des Sommerfestes auf der Tanzfläche sind?

Außer der 2 sind alle Primzahlen ungerade. Sieht man von dieser Ausnahme zunächst einmal ab, muss eine Frau mit einer geraden Namensschildnummer einen Partner mit einer ungeraden Nummer haben, und umgekehrt, eine Frau mit einer ungeraden Nummer einen Partner mit einer geraden Nummer. Da aber eine ungerade Zahl von Ehepaaren auf dem Sommerfest ist, gibt es jeweils eine Frau und einen Mann mehr mit ungerader Nummer als mit gerader Nummer. Folglich muss es ein Paar geben, bei dem beide Partner eine ungerade Nummer haben. Dies können nur diejenigen sein, die beide eine 1 auf dem Namensschild tragen, denn dadurch ergibt sich die einzige gerade Primzahl 2.

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