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Hemmes mathematische Rätsel: Der Quadratflug

Drohne und landendes FlugzeugLaden...

Morley Punshon Adams wurde 1876 in Ipswich in England geboren. Er arbeitete zunächst als Zivilangestellter bei der Armee, bevor er Journalist und Schriftsteller wurde. Er schrieb über zwei dutzend Bücher, vor allem für Kinder und Jugendliche, über Rätsel, Spiele und andere Freizeitbeschäftigungen und außerdem noch drei Romane. Gemeinsam mit dem Zeichner Cyril Cowell gab er die viele Jahre laufende Comic-Serie Adam the Gardner im Sunday Express heraus. Adams arbeitete auch für den Rundfunk. Er schrieb für die BBC die Texte der Sendereihen Puzzle Corner, Ask the Basket und Limerick Race. Adams war es auch, der die 1913 von Arthus Wynne in den USA erfundenen Kreuzworträtsel in England populär machte. Er gründete sogar eine eigene Firma, die Morley Adams Ltd., die Zeitungen und Zeitschriften mit Kreuzworträtseln und anderen Denksportaufgaben belieferte. Adams starb am 31. Januar 1954 in Croydon. Das heutige Rätsel stammt aus seinem Buch The Morley Adams Puzzle Book, das 1939 in London erschien.

Ein Flugzeug fliegt einen quadratischen Rundkurs. Auf der ersten Quadratseite hat es eine Geschwindigkeit von 100 Meilen pro Stunde, auf der zweiten Seite von 200, auf der dritten von 300 und auf der vierten von 400 Meilen pro Stunde. Wie hoch war die Durchschnittsgeschwindigkeit des Flugzeugs auf dem Rundkurs?

Man könnte leicht annehmen, die Durchschnittgeschwindigkeit auf dem Quadratflug betrüge (100 mi/h + 200 mi⁄h + 300 mi⁄h + 400 mi⁄h) ⁄ 4 = 250 mi⁄h.

Aber das wäre nur richtig, wenn das Flugzeug mit jeder Geschwindigkeit gleich lange flöge, was es jedoch nicht macht. Je höher die Geschwindigkeit, desto schneller ist es eine Quadratseite abgeflogen. Darum muss man bei der Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit den Umweg über die Flugzeiten nehmen.

Hat das Quadrat die Seitenlänge a und das Flugzeug auf dem ersten Abschnitt die Geschwindigkeit v1, so beträgt die Flugzeit t1 = a⁄v1. Entsprechendes gilt für die drei anderen Abschnitte des Fluges. Die Gesamtflugzeit beträgt folglich t = a⁄v1 + a⁄v2 + a⁄v3 + a⁄v4.Dies kann man zu t = a(1⁄v1 + 1⁄v2 + 1⁄v3 + 1⁄v4) vereinfachen.

Nun lässt sich die Durchschnittgeschwindigkeit zu vD = 4a⁄t = 4a⁄(a(1⁄v1 + 1⁄v2 + 1⁄v3 + 1⁄v4)) bestimmen. Die unbekannte Seitenlänge des Quadrates kann man herauskürzen und man erhält vD = 4⁄(1⁄v1 + 1⁄v2 + 1⁄v3 + 1⁄v4). Setzt man in diese Gleichung die Werte der vier Geschwindigkeiten ein, bekommt eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 192 Meilen pro Stunde.

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