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Der Reigen der Schwerpunkte

Treitz-Rätsel

Vier Punkte A, B, C und D liegen auf einem Kreis. Zeigen Sie bitte, dass die Schwerpunkte der Dreiecke ABC, BCD, CDA und DAB ihrerseits auf einem Kreis liegen. Wie groß ist dieser?

3 + 1 = 4.

Auch wenn das keine Neuigkeit ist, kann es nützlich sein, hier speziell daran zu denken.

Denken Sie sich 4 gleiche Punktmassen irgendwo in der Ebene (oder sogar im Raum). Die haben, wie das so üblich ist, einen gemeinsamen Schwerpunkt S. Jeder einzelne Massenpunkt ist von S dreimal so weit entfernt wie der Schwerpunkt der drei anderen Massen und liegt, von S aus gesehen, genau in der Gegenrichtung. (Denken Sie sich die vier Massen an einem masselosen Brett aufgehängt. Dann ist S der Punkt, an dem Sie das Brett unterstützen können, so dass es im Gleichgewicht ist. Fassen Sie drei Punkte zu deren gemeinsamem Schwerpunkt zusammen, so muss dieser am kurzen Ende und der restliche Punkt sm langen Ende eines gedachten Waagebalkens mit dem Längenverhältnis 1:3 hängen.

Also kommen Sie von einem Massenpunkt zum Schwerpunkt der drei anderen durch eine Streckung bezüglich S im Verhältnis –1:3 (was wegen des Minuszeichens auf eine Punktspiegelung mit nachfolgender Streckung hinausläuft). Die vier Schwerpunkte aus je 3 Punkten bilden also die gleiche Figur (im Allgemeinen Ecken eines Tetraeders) wie die vorgelegten 4 Punkte, nur im Maßstab 1:3 verkleinert und am gemeinsamen Schwerpunkt S gespiegelt.

Die Lage auf einem Kreis ist nur einer von sehr vielen Sonderfällen und versperrt eher die Sicht auf die hinreißend einfache Lösung. Auch müssen es nicht unbedingt 4 Punkte sein, sondern beliebig endlich viele (aber doch mehr als einer oder noch besser mehr als zwei), natürlich dann mit dem Streckungsverhältnis –1:(n–1). Für n = 2 finden wir bekannte Aussagen über den Schwerpunkt und die Seitenmitten des Dreiecks wieder.

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  • Quellen
Ich habe die Sache als Aufgabe E 1740 auf Seite 1132 im Band (1964) des American Mathematical Monthly gefunden, einer der Lösungs-Einsender (Bankoff) weist auf die Seite 234 in der Higher Course Geometry von Henry George Forder (1931) als Quelle hin. Eigentlich hätte ja Archimedes das schon wissen müssen, leider konnte er jedoch keine Rätsel an den "Monthly" senden.

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