Hemmes mathematische Rätsel: Der Satz von Haga
Seit der Antike sind in der hohen Kunst der geometrischen Konstruktion für Mathematiker nur Zirkel und Lineal erlaubt. Aber natürlich geht auch ganz anders, zum Beispiel durch Falten von Papier. Einer der Pioniere des mathematischen Papierfaltens ist der emeritierte Biologieprofessor Kazuo Haga von der Tsukuba-Universiät in Tokio, der sich seit über 30&mbsp;Jahren damit beschäftigt. Im Januar 1979 wurde seine bekannteste Entdeckung der Faltmathematik erstmals veröffentlicht. Der Physiker Koji Fushimi beschrieb sie in der japanischen Mathematikzeitschrift »Sugaku« und gab ihr den Namen »Satz von Haga«. Da Haga noch eine ganze Reihe weiterer Sätze über das Papierfalten entdeckte, wurde er 1984 in »1. Satz von Haga« umbenannt. 1994 schuf Kazuo Haga für die Kunst des mathematischen Faltens den Begriff »Origamics«, der sich aus dem japanischen Wort »Origami« (Papierfaltkunst) und dem englischen Wort »Mathematics« (Mathematik) zusammensetzt.
Im Jahr 2009 erfand Manfred Pietsch vom Stiftischen Gymnasium in Düren folgendes Problem: Ein quadratisches Stück Papier von 24 cm Seitenlänge wird so gefaltet, dass die untere rechte Ecke genau auf den Mittelpunkt der oberen Seite zu liegen kommt. Wie lang sind die beiden unverdeckten Reststrecken a und b der linken und rechten Seite des Quadrats?
Da das Blatt eine Seitenlänge von 24 cm hat, ist die obere Kathete des rechten rechtwinkligen Dreiecks 12 cm lang. Die zweite Kathete hat die Länge b. Folglich muss die Hypotenuse 24 − b lang sein.
Nun gilt nach dem Satz des Pythagoras 122 + b2 = (24 − b)2. Löst man diese Gleichung auf, erhält man b = 9.
Die beiden spitzen Winkel eines jeden rechtwinkligen Dreiecks ergeben zusammen 90 Grad. Da an dem Punkt, wo die beiden rechtwinkligen Dreiecke des Blattes aneinander stoßen, ein spitzer Winkel des linken Dreiecks, ein rechter Winkel und ein spitzer Winkel des zweiten Dreiecks zusammen 180 Grad ergeben, addieren sich diese beiden spitzen Winkel zu 90 Grad. Folglich sind die Winkel der beiden Dreiecke gleich, das heißt die beiden Dreiecke sind ähnlich.
Somit gilt a/12 = 12/b oder a/12 = 12/9. Daraus erhält man a = 16. Man kann nun auch noch leicht die Hypotenusen der beiden Dreiecke ausrechnen. Sie haben die Längen 20 und 15. Teilt man alle Längen des linken Dreiecks durch 4 und alle des rechten durch 3, erhält man das wohl bekannteste pythagoreische Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5.
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