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Hemmes mathematische Rätsel: Der schwarze Pfad

Abwechselnd legen zwei Spieler einen der beiden Spielsteine aufs Brett. Verloren hat die Person, bei der der entstandene schwarze Pfad am Rand des Bretts endet.
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1960 studierte William L. Black am Massachusetts Institute of Technology in den USA, als er das Spiel »Der schwarze Pfad« erfand und mit seinen Kommilitonen spielte. Es wird auf einem 5×5-Schachbrett gespielt, bei dem das obere, rechte Feld E5 fehlt. Den beiden Spielern steht ein beliebig großer Vorrat an quadratischen Spielsteinen zur Verfügung, die alle die Größe eines Schachfeldes haben und entweder ein Kreuz oder zwei Viertelkreise tragen.

Der schwarze Pfad

Die Aufgabe der Spieler ist, mit den Spielsteinen einen ununterbrochenen schwarzen Pfad über das Brett zu ziehen, der an dem roten Punkt am Unterrand des Feldes A1 beginnt. Die beiden Spieler legen dazu immer abwechselnd einen Stein so auf das Brett, dass Pfad stets verlängert wird. Dabei muss man sich die Kreuzungen als Brücken vorstellen, an denen man nicht abbiegen kann. Verloren hat, wer den Weg an den Rand des Spielbrettes führt, so dass er nicht mehr verlängert werden kann.

Der schwarze Pfad

In dem Beispiel hat der erste Spieler mit seinem ersten Zug einen Kreuzstein auf das Feld A1 gesetzt und zweite Spieler mit seinem fünften Zug einen Bogenstein auf das Feld E2. Nun muss der erste Spieler einen Stein auf das Feld E1 legen, um den Pfad zu verlängern. Aber welchen Stein er auch wählt, der Pfad wird an den Rand des Brettes gelangen und der erste Spieler wird verlieren.

Angenommen, beide Spieler spielen mit optimaler Strategie. Wer wird dann das Spiel gewinnen und wie könnte diese Strategie aussehen?

Der erste Spieler überzieht das Schachbrett mit einem Raster aus Doppelfeldern. Dazu gibt es viele Möglichkeiten, eine davon zeigt die Skizze. Die Strategie des ersten Spielers ist nun, jeweils als erster einen Stein auf ein Doppelfeld zu legen und gleichzeitig den zweiten Spieler zu zwingen, dass dieser mit seinem nächsten Zug seinen Stein auf das zweite Feld dieses Doppelfeldes setzen muss. Das kann dem ersten Spieler stets dadurch gelingen, indem er seinen Stein so wählt und legt, dass der Pfad nach seinem Zug an der Mittellinie eines Doppelfeldes endet. Der erste Spieler muss folglich bei dem Beispielraster mit seinem ersten Zug einen Kreuzstein auf das Feld A1 setzen. Mit dieser Strategie wird der erste Spieler das Spiel auf jeden Fall gewinnen.

Der schwarze Pfad

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