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Hemmes mathematische Rätsel: Der Terrier und die Kompanie

Ein Terrier umrundet eine im Gleichschritt marschierende Kompanie Soldaten. Welchen Weg legt das Maskottchen dabei zurück?
Yorkshire Terrier

Sam Loyd, Amerikas berühmtester Rätsel- und Spieleerfinder, wurde 1841 in Philadelphia geboren. Er war ein guter Schachspieler und nahm an dem internationalen Turnier bei der Weltausstellung in Paris 1867 teil. Doch machte er sich einen bleibenden Namen vor allem als Komponist von Schachproblemen. Nach 1870 verlor er allmählich das Interesse am Schachspiel und widmete sich von nun an dem Erfinden mathematischer Denkspiele und origineller Werbegeschenke. Von seinem Puzzle »Die Trickesel« wurden in wenigen Wochen mehrere Millionen Exemplare verkauft und Loyd verdiente daran viele tausend Dollar. Ab 1890 schrieb er für etliche Zeitschriften regelmäßige Rätselkolumnen. Loyd starb 1911 in New York. Vier Jahre nach seinem Tod gab sein Sohn die Rätsel seines Vaters in einem Buch mit dem Titel »The Cyclopedia of 5000 Puzzles, Tricks and Conundrums« heraus. Aus diesem Klassiker des Denksports stammt das folgende, für das Rätsel etwas vereinfachte Problem.

Eine Kompanie Soldaten marschiert im Gleichschritt mit einer Geschwindigkeit von 4 km/h in einer 9 m langen und 9 m breiten Kolonne. Ihr Maskottchen, ein kleiner Terrier, befindet sich an der vorderen rechten Ecke der Kolonne und läuft mit den Soldaten mit. Plötzlich macht der Terrier kehrt und umrundet die Kolonne im Uhrzeigersinn. Dabei läuft er mit 5 km/h und bleibt doch stets ganz dicht an der Kolonne. Wie lang ist der Weg, den der Terrier zurückgelegt hat, wenn er wieder an der vorderen rechten Ecke der Kolonne angekommen ist?

Der Terrier umrundet mit der Geschwindigkeit \(v\) die Kolonne, die eine Seitenlänge \(a\) hat und mit der Geschwindigkeit \(u\) marschiert.

Sein Weg beim Umrunden der Kolonne besteht aus vier geraden Abschnitten der Längen \(s_1, s_2, s_3\) und \(s_4.\) In der Zeit \(t_1,\) die der Terrier braucht, um von der vorderen rechten zur hinteren rechten Ecke der Kolonne zu laufen, bewegt sich diese ihm um die Strecke \(ut_1\) entgegen. Somit gilt \(s_1= vt_1 = a-ut_1\) und nach dem Eliminieren der Zeit erhält man \( s_1= \frac{av}{v+u}.\)

Auch in der Zeit \(t_2,\) die der Terrier braucht, um die Rückseite der Kolonne zu passieren, marschieren die Soldaten weiter. Es gilt darum nach dem Satz des Pythagoras \((s_2)^2 =(vt_2)^2= a^2+(ut_2)^2\) und folglich \(s_2=\frac{av}{\sqrt{v^2-u^2}}.\)

Mit ganz ähnlichen Überlegungen ergeben sich \(s_3 =vt_3= a+ut_3\) und \(s_3=\frac{av}{v-u}\) und \(s_4=s_2.\) Der Gesamtweg des Terriers hat somit eine Länge von \(s=av \left( \frac{1}{v-u}+\frac{1}{v+u}+\frac{2}{\sqrt{v^2-u^2}}\right)= 80 \ m.\)

Der Terrier und die Kompanie

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