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Hemmes mathematische Rätsel: Der Weg des Kuriers

Ein Kurier reitet zwischen zwei sich nähernden Armeefronten hin und her. Wie viel Strecke legt er dabei zurück?
Terrakotta-Armee im Grab des ersten Kaisers von China

Sam Loyd, Amerikas berühmtester Rätsel- und Spieleerfinder, wurde 1841 in Philadelphia geboren. Er war ein guter Schachspieler und nahm an dem internationalen Turnier bei der Weltausstellung in Paris 1867 teil. Doch machte er sich einen bleibenden Namen vor allem als Komponist von Schachproblemen, die er in Fachzeitschriften veröffentlichte. Nach 1870 verlor er allmählich das Interesse am Schachspiel und widmete sich von nun an dem Erfinden mathematischer Denkspiele und origineller Werbegeschenke. Von seinem Puzzle »Die Trickesel« wurden in wenigen Wochen mehrere Millionen Exemplare verkauft und Loyd verdiente damit viele tausend Dollar. Ab 1890 schrieb er für etliche Zeitschriften regelmäßige Rätselkolumnen. Loyd starb 1911 in New York. Vier Jahre nach seinem Tod gab sein Sohn die Rätsel seines Vaters in einem Buch mit dem Titel »The Cyclopedia of 5000 Puzzles, Tricks and Conundrums« heraus. Aus diesem Klassiker des Denksports stammt das folgende Problem.

Eine riesige Armee von 50 Meilen Länge marschiert mit konstanter Geschwindigkeit auf den Feind zu. Währenddessen reitet ein Kurier von der rückwärtigen Linie zur vorderen Linie und wieder zurück. In dem Augenblick, in dem er die rückwärtige Line wieder erreicht hat, ist die Armee genau 50 Meilen weit marschiert. Welche Strecke hat der Kurier zurückgelegt?

Wir bezeichnen die Länge der Armee mit a und ihre Geschwindigkeit mit v. Der Kurier ist x-mal so schnell wie die Armee und hat somit die Geschwindigkeit xv. Betrachtet man die Armee als ruhend, so hat der Kurier auf dem Hinweg die Geschwindigkeit xv − v und auf dem Rückweg xv + v und legt jeweils die Strecke a zurück.

Er hat dafür insgesamt die Zeit t = a/(xv − v) + a/(xv + v) benötigt. Multipliziert man beide Seiten mit v, so wird daraus vt = a/(x − 1) + a/(x + 1). Da die Armee in der Zeit t die Strecke a marschiert, ist vt = a und die Gleichung vereinfacht sich zu 1 = 1/(x − 1) + 1/(x + 1).

Sie lässt sich zu x2 − 2x − 1 = 0 umformen. Diese quadratische Gleichung hat die positive Lösung x ≈ 2,414. Da der Kurier x-mal so schnell ist wie die Armee, reitet er auch die Strecke xa ≈ 120,71 Meilen in der Zeit, in der die Armee nur a = 50 Meilen weit marschiert.

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