Hemmes mathematische Rätsel: Der Weg um den Teich
Die Stadtväter von Dingsda haben im Stadtpark einen Teich anlegen lassen, der die Form eines regelmäßigen Sechsecks mit einer Seitenlänge von 50 Metern hat. Um den Teich läuft ein Weg, der an jeder Stelle vier Meter breit ist und überall an das Ufer grenzt. Der Weg soll nun neu gepflastert werden.
Für wie viele Quadratmeter müssen Pflastersteine beschafft werden?
Der an den Teich grenzende Rand des Wegs bildet ein regelmäßiges Sechseck. Nun haben viele Leser angenommen, auch der Außenrand des Wegs müsste ein regelmäßiges, wenn auch etwas größeres Sechseck sein. Doch das ist nicht ganz richtig.
Die Breite eines Wegs an einem bestimmten Punkt auf der einen Seite ist der Abstand zum nächstgelegenen Punkt auf der anderen Seite. An allen Punkten an der Außenseite, wo im Bereich der Ecken die Linien rot und fett gezeichnet sind, hat der Weg eine größere Breite als an den anderen Punkten. Damit der Weg aber überall die gleiche Breite hat, müssen die Ecken mit Kreisbögen, deren Mittelpunkte auf den Ecken der Innenseite liegen, abgerundet werden. Nun besteht der Weg aus sechs Rechtecken der Größe 50×4 = 200 m2 und sechs Kreissektoren. Die sechs Sektoren ergeben zusammen einen vollständigen Kreis mit einem Radius von 4 m. Somit beträgt der Flächeninhalt des Wegs 6×200 + π×42 ≈ 1250,3 Quadratmeter.
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