Hemmes mathematische Rätsel: Der wievielte Teil des mittleren Kreises bleibt unbedeckt?
Die Mittelpunkte dreier Kreise vom Radius r liegen auf einer Geraden und haben den Abstand r voneinander. Den wievielten Teil lassen die beiden äußeren Kreise von der Fläche des mittleren Kreises unbedeckt?
Die beiden äußeren Kreise decken zwei linsenförmige Teile des mittleren Kreises ab, die sich aus insgesamt vier gleichen Kreisabschnitten zusammensetzen. Der Kreisabschnitt BCD ist die Differenz zwischen dem Kreisausschnitt ABCD und dem Dreieck ABD. Die Strecken AB, AC, AD, BC und CD sind Kreisradien r. Folglich sind die Dreiecke ABC und ACD gleichseitig, und der Winkel DAC ist 120° groß. Somit hat der Kreisausschnitt ABCD eine Fläche von 1/6πr2, und die Dreiecke ABC und ACD und damit auch das Dreieck ABD haben den Inhalt 1/4√3 r2. Folglich hat der Kreisabschnitt BCD eine Fläche von 1/3πr2 – 1/4√3 r2. Vom mittleren Kreis ist somit eine Fläche von πr2 – 4(1/3πr2 – 1/4√3 r2) = (√3 – 1/3π)r2 unbedeckt, was einem Anteil von (√3 – 1/3π)r2/(πr2) = √3/π – 1/3 ≈ 21,8 Prozent entspricht.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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