Hemmes mathematische Rätsel: Der wievielte Teil ergibt eine sinnvolle römische Zahl?
Jede Aneinanderreihung von arabischen Ziffern ergibt eine sinnvolle und regelkonforme arabische Zahl. Bei römischen Zahlen ist das nicht so. Römische Zahlen schreibt man mit den sieben Zeichen I, V, X, L, C, D und M. Sie werden in den Zahlen von links nach rechts nach absteigenden Werten geordnet. Dazu kommt die Subtraktionsregel, mit der die Zeichen I, X und C einem ihrer nächst- oder übernächstgrößeren Zahlzeichen direkt vorangestellt werden dürfen und dann ihre Zahlenwerte von deren Wert abzuziehen sind. Außerdem dürfen nicht mehr als drei gleiche Zeichen direkt aufeinander folgen. Lange nicht jede Aneinanderreihung von römischen Zahlzeichen ergibt eine sinnvolle und regelkonforme römische Zahl. Zwei Beispiele solcher sinnlosen Aneinanderreihungen sind IDI oder ILMX. Der wievielte Teil aller Aneinanderreihungen von einem bis zu fünfzehn römischen Zahlzeichen stellt sinnvolle und regelkonforme römische Zahlen dar?
Mit den sieben Zahlzeichen I, V, X, L, C, D und M lassen sich sieben verschiedene Aneinanderreihungen von einem Zeichen, 72 von zwei Zeichen, 73 von drei Zeichen usw. bilden. Insgesamt gibt es darum 7 + 72 + 73 + … + 715 = 5 538 821 761 599 verschiedene Zeichenketten mit einem bis 15 Zeichen. Die größte Zahl, die man mit römischen Zahlzeichen schreiben kann, ist MMMCMXCIX = 3999. Hingegen ist MMMDCCCLXXXVIII = 3888 mit 15 Zeichen die längste römische Zahl. Die Zahlen von 1 bis 3999 sind ebenfalls als römische Zahlen mit maximal 15 Zeichen darstellbar. Von den 5 538 821 761 599 Zeichenketten sind also nur 3999 sinnvolle und regelkonforme römische Zahlen. Dies ist ein Anteil von 3999/5 538 821 761 599 ≈ 7,22 ∙ 10–10.
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