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Hemmes mathematische Rätsel: Der Zauberer von Oz

»Die Summe der Quadratwurzeln von je zwei Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks ist gleich der Quadratwurzel der verbliebenen Seite.« – Für welche Dreiecke ist das wahr?
Blühende Biomasse

In dem berühmten Hollywood-Film »Der Zauberer von Oz« aus dem Jahr 1939 mit Judy Garland als Dorothy in der Hauptrolle bittet die Vogelscheuche den Zauberer von Oz um Verstand. Als sie diesen samt eines Universitätsdiploms von ihm erhalten hat, deklamiert sie: »Die Summe der Quadratwurzeln von je zwei Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks ist gleich der Quadratwurzel der verbliebenen Seite.«

Mit dem Verstand der Vogelscheuche scheint es aber nicht weit her zu sein, denn diese verballhornte Version des Satzes von Pythagoras ist im Allgemeinen falsch. In ihrem 2010 in den USA erschienenen Buch »Charming Proofs: A Journey into Elegant Mathematics« greifen der spanische Mathematiker Claudi Alsina und der amerikanische Mathematiker Roger B. Nelsen den Satz der Vogelscheuche auf. Sie fragen ihre Leserinnen und Leser, ob es nicht irgendwelche speziellen Dreiecke gibt, gleichschenklig oder nicht, für die die Behauptung der Vogelscheuche richtig ist.

Zunächst eine kleine Vorüberlegung. Für alle positiven Zahlen a und b gilt √(a) + √(b) > √(a+b). Das ist leicht erkennbar an der quadrierten Form dieser Ungleichung, die a + b + 2√(a)√(b) > a + b lautet und sicherlich richtig ist.

Wir betrachten nun ein beliebiges Dreieck mit Seitenlängen a, b und c. In einem Dreieck ist die Summe zweier Seiten immer größer als die dritte Seite, es gilt also stets a + b > c. Durch Wurzelziehen erhalten wir √(a+b) > √(c) und mit der Vorüberlegung √(a) + √(b) > √(a+b) schließlich auch √(a) + √(b) > √(c).

Die Behauptung der Vogelscheuche, dass √(a) + √(b) = √(c) ist, kann folglich bei keinem Dreieck richtig sein.

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