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Hemmes mathematische Rätsel: Der zerwürfelte Würfel

Ein Würfel, dessen Kantenlängen ganzzahlige Zollwerte sind, wird grün lackiert und anschließend in lauter kleine Würfelchen von einem Kubikzoll Größe zersägt. Es gibt ebenso viele Würfelchen mit genau einer grünen Seite wie ohne eine einzige lackierte Seite. Wie lang waren die Kanten des ursprünglichen Würfels?
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Der amerikanische Mathematiker Joseph D. E. Konhauser (1924-1992) war Professor am Macalester College in St. Paul in Minnesota. Er organisierte über lange Zeit zahlreiche Mathematikwettbewerbe für Schüler und Studenten und erfand eine Unmenge an mathematischen Knobeleien. Nach seinem Tod wurde ihm zu Ehren 1993 das jährliche Konhauser Problemfest ins Leben gerufen.

1963 stellte Konhauser folgendes Rätsel: Ein Holzwürfel, dessen Kantenlängen ganzzahlige Zollwerte sind, wird grün lackiert und anschließend in lauter kleine Würfelchen von einem Kubikzoll Größe zersägt. Dabei entstehen ebenso viele Würfelchen mit genau einer grünen Seite wie Würfelchen ohne eine einzige lackierte Seite. Wie lang sind die Kanten des ursprünglichen Würfels vor dem Zersägen?

Ein grünlackierter Würfel der Kantenlänge n > 1 lässt sich in n3 Würfelchen der Kantenlänge 1 zersägen. Die acht Würfelchen an den Ecken des großen Würfels haben drei grüne Seiten, die 12(n – 2) Würfelchen auf den zwölf Kanten haben zwei grüne Seiten und die restlichen 6(n – 2)2 Würfelchen in den Seitenmitten haben eine grüne Seite. Nur die (n – 2)3 Würfelchen, die vollständig im Inneren des großen Würfels liegen, haben keine einzige grüne Seite.

Da die Zahl der Würfelchen mit einer grünen Seite gleich der ohne grüne Seite sein soll, gilt 6(n – 2)2 = (n – 2)3, was zu den beiden Lösungen n = 2 und n = 8 führt. Vor dem Zersägen hatte der grüne Würfel also entweder zwei Zoll oder acht Zoll lange Kanten.

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