Hemmes mathematische Rätsel: Die Basilika
Im 9. Jahrhundert entstand im Frankenreich ein Manuskript mit dem Titel »Propositiones ad acuendos iuvenes« (Aufgaben zur Schärfung des Geistes der Jugend). Es ist die älteste mathematische Aufgabensammlung in lateinischer Sprache. Der Autor des Manuskripts ist unbekannt, aber es spricht vieles dafür, dass es von Alkuin von York (ca. 732-804) geschrieben wurde, einem englischen Gelehrten, der von 781 bis 796 am Hof Karls des Großen in Aachen lebte und die letzten acht Jahre seines Lebens Abt des berühmten Klosters St. Martin in Tours in Frankreich war. Die »Propositiones« bestehen aus 56 Aufgaben, von denen die meisten zur Unterhaltungsmathematik gehören. Die 30. Aufgabe ist ein geometrisches Problem.
Eine Basilika ist 240 Fuß lang und 120 Fuß breit. Sie soll mit 23 Unzen langen und 12 Unzen breiten Platten vollständig ausgelegt werden. Wie viele Platten sind dafür notwendig, wenn 12 Unzen einem Fuß entsprechen?
Dies ist die Aufgabe aus den »Propositiones«. Die interessantere und schwierigere Frage, die man aber nicht in den »Propostiones« findet, ist: Wie viele Platten müssen mindestens zerschnitten werden, um die Basilika vollständig zu pflastern?
Die Basilika ist 240 Fuß = 12 · 240 Unzen = 2880 Unzen lang und 120 Fuß = 12 · 120 Unzen = 1440 Unzen breit. Sie hat somit eine Grundfläche von 2880 × 1440 = 4147200 Quadratunzen. Da eine Platte die Größe von 23 × 12 = 276 Quadratunzen hat und 4147200 / 276 = 150262⁄23 beträgt, sind mindestens 15027 Platten notwendig, um den Boden der Basilika vollständig zu bedecken. Dabei reicht es aus, nur zwei Platten zu zerstückeln.
Es werden jeweils 240 Platten in 60 Reihen mit ihren kurzen Seiten parallel zu den Längsseiten der Basilika ausgelegt. Sie bedecken eine rechteckige Fläche von (240 × 12) × (60 × 23) = 2880 × 1380 = 3974400 Quadratunzen und lassen nur noch einen Streifen von 2880 Unzen Länge und 60 Unzen Breite frei. In diesen Streifen werden jeweils 125 Platten in fünf Reihen mit ihren langen Seiten parallel zu den Längsseiten der Basilika gelegt. Sie decken eine Fläche von (125 × 23) × (5 × 12) = 2875 × 60 = 172500 Quadratunzen ab. Da der Streifen aber 2880 Unzen lang ist, bleibt ein Rechteck der Fläche 5 × 60 = 300 Quadratunzen frei. Dieses Rechteck hat die Größe von 12⁄23 Platten und kann durch die Zerstückelung der beiden letzten Platten gefüllt werden.
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