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Hemmes mathematische Rätsel: Die beiden Zechbrüder

Zwei Freunde fahren eine 10 Kilometer lange Strecke abwechselnd mit einem Rad. Wie lange brauchen sie dafür?
Mit E-Bike in den Bergen

Kurt und Karl hatten sich zufällig im Heidekrug in Klausheide getroffen und dieses Ereignis mit viel Bier gefeiert. Um zehn Uhr setzte sie der Wirt vor die Tür, und die beiden Zechbrüder beschlossen, noch nach Frenswegen in die Klosterschänke zu gehen.

Karl hatte sein Fahrrad dabei, aber Kurt war zu Fuß, darum wollten sie das Rad immer abwechselnd auf der zehn Kilometer langen Strecke benutzen. Beide Zechbrüder starteten gleichzeitig, Kurt mit dem Rad und Karl zu Fuß. Kurt fuhr ein Stück, stellte dann das Rad ab und ging zu Fuß weiter. Karl, der natürlich zu Fuß wesentlich langsamer war als Kurt, kam nach einiger Zeit zu dem abgestellten Rad. Er bestieg es und fuhr los. Nach einigen Minuten überholte er Kurt. Er fuhr noch ein Stückchen weiter, stieg dann ab, lehnte das Fahrrad an einen Baum und ging zu Fuß weiter. Nach kurzer Zeit gelangte Kurt zu dem Rad und fuhr ein Stückchen damit, bevor er es wieder abstellte. Nach diesem Schema, dass sie immer abwechselnd fuhren und gingen, legten die beiden den ganzen Weg zurück und gelangten schließlich gleichzeitig bei der Klosterschänke an.

Angenommen, Karl hätte als Fußgänger eine Geschwindigkeit von 4 km/h und als Radfahrer von 10 km/h, und Kurt wäre zu Fuß 5 km/h und mit dem Rad auch 10 km/h schnell, wie lange hätten die beiden Zechbrüder dann für den Weg gebraucht?

Unabhängig davon, in was für Teilabschnitte die zehn Kilometer lange Strecke von Klausheide nach Frenswegen unterteilt worden ist, muss Kurt das Stück gelaufen sein, das Karl gefahren ist und umgekehrt.

Bezeichnen wir die gesamte von Kurt gelaufene Strecke mit w, so beträgt seine gefahrene Strecke 10 − w. Teilt man die beiden Strecken durch die entsprechenden Geschwindigkeiten, erhält man Kurts Reisezeit t = w/5 + (10 − w)/10.

Da Kurt und Karl gleichzeitig in Klausheide gestartet und in Frenswegen angekommen sind, ist auch Karl t Stunden unterwegs gewesen. Er ist jedoch w Kilometer gefahren und 10 − w Kilometer gelaufen, darum gilt t = (10 − w)/4 + w/10.

Setzt man diese beiden Ausdrücke gleich, erhält man nach einigen Umformungen w = 6. Kurt ist also insgesamt 6 km gelaufen und 4 km mit dem Rad gefahren. Setzt man diesen Wert in die erste Gleichung ein, ergibt sich, dass Kurt und Karl für den Weg eine Stunde und 36 Minuten gebraucht haben.

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