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Hemmes mathematische Rätsel: Die Blau-Rot-Würfel

H und K werfen zwei Würfel. H gewinnt, wenn beide Farben gleich sind. Der 1. Würfel hat 5 rote und 1 blauen Kreis. Wie muss der 2. Würfel für ein faires Spiel aussehen?
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Der bekannte französische Rätsel- und Spieleerfinder Pierre Berloquin wurde 1939 in Tours geboren und ist eigentlich von Beruf Ingenieur. Er schrieb mehrere Dutzend Bücher über Denksportaufgaben und Spiele. Drei davon wurden ins Deutsche übersetzt: Logische Kopfspiele (1982), Mathematische Kopfspiele (1983) und Der Garten der Sphinx (1984). Leider sind sie schon seit vielen Jahren vergriffen. Das heutige Rätsel stammt aus seinem 1973 erschienenen Buch 100 jeux numériques.

Hinz und Kunz spielen mit zwei Würfeln. Allerdings sind es keine gewöhnlichen Würfel. Statt der Augenzahlen ist auf jede ihrer Seitenflächen nur ein roter oder ein blauen Kreis gedruckt worden. Beide Würfel werden gleichseitig geworfen. Hinz gewinnt das Spiel, wenn beide Würfel die gleiche Farbe zeigen, Kunz gewinnt, wenn sie verschiedene Farben zeigen. Der eine Würfel hat fünf rote Kreise und einen blauen Kreis. Wie viele rote und wie viele blaue Kreise muss der andere Würfel besitzen, wenn Hinz und Kunz die gleichen Chancen haben zu gewinnen?

Jeder Würfel hat sechs Seiten, darum gibt es 6 × 6 = 36 verschiedene Seitenpaare, die nach dem Werfen von zwei Würfeln oben liegen können. Damit Hinz und Kunz gleiche Chancen zu gewinnen haben, müssen in genau 18 Fällen beide geworfenen Seiten die gleiche Farbe haben.

Nach einem Lösungsweg, der von Guido Tumminello aus Alsdorf stammt, besitzt der erste Würfel R1 rote und 6 − R1 blaue Kreise. Bezeichnet man die Anzahl der roten Kreise des zweiten Würfels mit R2, wird man in R1R2 Fällen zwei rote Kreise würfeln und in (6 − R1)(6 − R2) Fällen zwei blaue. Zusammen müssen diese Fälle 18 ergeben, das heißt:
R1R2 + (6 − R1)(6 − R2) = 18

Diese Gleichung lässt sich zu (3 − R1)(3 − R2) = 0 vereinfachen, so dass R2 = 3 übrig bleibt. R1 fällt also ganz heraus. Folglich hat der zweite Würfel drei rote und drei blaue Kreise, und zwar völlig unabhängig davon, wie viele rote und blaue Kreise sich auf dem ersten Würfel befinden.

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