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Hemmes mathematische Rätsel: Die Broschen der Gräfin

Eine Gräfin bewahrt ihre Broschen mit je gleich vielen Diamanten in einem Safe auf. Diese haben insgesamt zwischen 200 und 300 Diamanten – wie viele Broschen besitzt die Gräfin?
Eine glitzernde Brosche

Der berühmte Science-Fiction-Autor Isaac Asimov (1920-1992) gründete 1977 gemeinsam mit George Scithers die Zeitschrift »Isaac Asimov's Science Fiction Magazine«. Von 1977 bis 1986 schrieb Martin Gardner für jede Ausgabe eine in der Zukunft und im Weltraum spielende Kurzgeschichte, die in einem mathematischen Rätsel mündete. Im August 1982 stellte er in seiner Erzählung »Fingers and Colors on Chromo« den Lesern folgende, von Michael Steuben erfundene Aufgabe:

Gräfin Frensdorf hat einige sehr wertvolle Broschen in ihrem Safe. Jede Brosche ist mit gleich vielen hochkarätigen Diamanten besetzt. Wüssten Sie die genaue Anzahl der Diamanten, könnten Sie exakt berechnen, wie viele Broschen dort aufbewahrt sind, und wie viele Diamanten jede hat. Ich verrate Ihnen jedoch nur, dass zwischen 200 und 300 Diamanten im Safe sind. Wie viele Broschen mit jeweils wie vielen Diamanten besitzt die Gräfin?

Sie meinen, die Aufgabe enthält nicht genügend Information, um sie lösen zu können? Irrtum, es reicht! Das Produkt aus der Anzahl der Broschen B und der Zahl der Diamanten d pro Brosche ist die Gesamtzahl D = Bd der Diamanten.

Da ich behauptet habe, Sie könnten B und d exakt berechnen, wenn Sie D wüssten, muss sich D nur auf eine einzige Art in zwei Faktoren zerlegen lassen. Außerdem müssen B und d gleich sein, da man sonst nicht wüsste, welcher der beiden Faktoren die Anzahl der Broschen und welcher die der Diamanten pro Brosche darstellt.

Daraus folgt, dass D das Quadrat einer Primzahl sein muss. Die einzige Primzahl, deren Quadrat zwischen 200 und 300 liegt ist 17, also bewahrt Gräfin Frensdorf 17 Broschen mit jeweils 17 Diamanten in ihrem Safe auf.

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