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Hemmes mathematische Rätsel: Die Datumsuhr

Sie finden eine stehen gebliebene Uhr, mit Datums- aber ohne Monatsanzeige. Wie lange dauert es höchstens, bis Sie sicher wissen, in welchem Monat sie stehen geblieben ist?
Genug Leistung für eine Armbanduhr

Im Januar 2001 stellte Gerald Ameres in einer Mathematik-Newsgroup im Internet ein kniffliges Uhrenproblem vor.

Die Datumsanzeigen älterer Armbanduhren nehmen jeden Monat mit 31 Tagen an, und am Ende von kürzeren Monaten muss man sie von Hand vorstellen. Modernere Uhren aber überspringen bei Monaten von 28, 29 oder 30 Tagen Länge von alleine die überzähligen Tage, und sie beherrschen außerdem auch die Schaltjahresregel. Eine Anzeige für den Monatsnamen haben sie allerdings meistens nicht.

Eine solche moderne Armbanduhr hat jahrelang im Schrank gelegen. Die Batterie ist leer und die Uhr stehengeblieben. Wenn man nun eine neue Batterie einsetzte, ohne dabei etwas an der Uhr zu verstellen, wie viele Tage könnte es dann höchstens dauern, bis man aus den Datumsanzeigen der Uhr eindeutig schließen könnte, in welchem Monat sie stehengeblieben ist? Der angebrochene Tag, an dem die Batterie eingesetzt wird, zählt dabei als ganzer Tag, die ersten Sekunden eines neuen Tages, die man nach Mitternacht braucht, um den Wechsel der Datumsanzeige zu beobachten, jedoch nicht.

In dem Diagramm sind die zwölf Monate und ihre jeweiligen Längen skizziert.

Die Datumsuhr

Man erkennt daran, dass es zwei Teilfolgen von je sieben Monaten gibt, die sich in der Abfolge der Monatslängen nur beim letzten Monat unterscheiden: Mär (31), Apr (30), Mai (31), Jun (30), Jul (31), Aug (31), Sep (30) und Aug (31), Sep (30), Okt (31), Nov (30), Dez (31), Jan (31), Feb (28/29).

In welcher Teilfolge die Uhr stehengeblieben ist, kann man also nur dann erkennen, wenn die wieder laufende Uhr das Ende der Teilfolge erreicht hat. Am einfachsten ist es bei der zweiten Folge: Wenn die Datumsanzeige von 28 oder 29 auf 1 springt, weiß man, dass sie den Wechsel von Februar nach März gemacht hat.

Etwas schwieriger ist es, die erste Teilfolge zu erkennen. Wenn nach zwei Monaten von je 31 Tagen Länge im darauffolgenden Monat die Datumsanzeige von 29 auf 30 springt, weiß man, dass die Uhr den September anzeigt. Hat man vom Tag des Batteriewechsels bis zum Teilfolgenende die verstrichenen Tage mitgezählt, ist es nun kein Problem mehr, den Monat zu berechnen, in dem die Uhr stehengeblieben ist.

Ist die Uhr am 1. August vor einem Schaltjahr oder am 1. März stehengeblieben, muss man am längsten warten, um den Monat identifizieren zu können, nämlich genau 213 Tage.

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