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Die dreieckige Wand

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Kalle baut eine dreieckige Wand: Unten ist sie breit, und oben hat sie eine Ecke. Die Steine dafür liegen am Boden bereit. Bei welcher Höhe hat er die halbe Arbeit getan?

Naiverweise könnte man meinen, bei der halben Höhe. Aber dann hat er bereits 3/4 der Steine verbraucht, wie man sich leicht überlegt. In welcher Höhe hat er denn die Hälfte der Steine verbraucht?

Nun kann man aber auch beachten, dass die Steine für die oberen Teile erst auf die entsprechende Höhe gehoben werden müssen, und vielleicht ist das das Entscheidende bei der Arbeit. Um es klarer zu sagen: Er benutzt einen benzingetriebenen Lastenaufzug für die Steine, und wir fragen: Bei welcher Höhe hat der halb so viel Benzin verbraucht wie bis zum Schluss?

Gibt es Paare von Schichten, für das Produkt aus Breite und Abstand vom Boden gleich ist?

Wenn man von der Spitze aus zwar nicht baut (wir sind ja nicht in Schilda!), aber trotzdem von dort aus denkt, so geht die Fläche quadratisch mit der Höhe. Zur oberen Hälfte der Höhe gehört also das obere Viertel der Fläche. Nun suchen wir aber die halbe Fläche, sie ist erreicht, wenn die bis zur Spitze fehlende Höhe sich zur ganzen Höhe H wie 1 zu \(\sqrt{2}\) verhält, vom Boden aus ist das also \(H\cdot(1-\sqrt{0,5})\), also etwa 29 % der Höhe.

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Nun aber zur Hälfte der Hubarbeit: Dazu überlegen wir uns, welchen Beitrag jeweils eine dünne Schicht dazu gibt (eine "infinitesimal dünne", um genau zu sein). Eine Schicht z. B. in 10 % der Höhe hat als Breite 90 % der Grundseite, aber als Hubhöhe eben diese 10 %. Es gibt aber auch eine Schicht in 90 % der Höhe (mit der gleichen geringen Dicke), die zum Ausgleich als Breite nur 10 % der Grundseite hat, das Produkt ist also das Gleiche. Für 11 % und 89 % der Höhe sind das andere Zahlen (die wir gar nicht erst ausrechnen), aber wieder zwei gleiche.

Wir können die Schichten also immer paarweise zusammen betrachten: eine oben und eine unten, die gleich viel Hubarbeit erfordern. Damit ist dann klar, dass in diesem Sinne genau bei der halben Höhe die Hälfte der Arbeit getan ist, obwohl nur noch 1/4 der Steine zu heben sind (aber eben ziemlich hoch!).

Dieses schöne einfache Ergebnis stimmt aber nur für dreieckige Wände, nicht für rechteckige und auch nicht für Pyramiden, was leider nicht ganz so elegant überlegt werden kann, sondern mit Integralen gerechnet werden muss.

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