Hemmes mathematische Rätsel: Die dreißigpfündige Schale
Im 9. Jahrhundert wurde im Frankenreich ein Manuskript mit dem Titel »Propositiones ad acuendos iuvenes« (Aufgaben zur Schärfung des Geistes der Jugend) geschrieben. Es ist die älteste mathematische Aufgabensammlung in lateinischer Sprache. Der Autor dieses Manuskripts ist unbekannt, aber es spricht vieles dafür, dass es von Alkuin von York (circa 735–804) verfasst wurde, einem angelsächsischen Wissenschaftler, der von 781 bis 796 die Hofschule Karls des Großen leitete und der sicherlich der größte Gelehrte des Abendlandes der zweiten Hälfte des ersten Jahrtausends war. Auch der Entstehungsort der »Propositiones« ist unbekannt, aber es könnte durchaus Aachen gewesen sein. Die »Propositiones« bestehen aus 56 Aufgaben, von denen die meisten zur Unterhaltungsmathematik gehören. Viele der Aufgaben stammen aus römischen, griechischen, byzantinischen und arabischen Quellen, aber etliche sind auch Erfindungen aus der Karolingerzeit und tauchen zum ersten Mal in der Geschichte der Unterhaltungsmathematik in den »Propositiones« auf. Die 3. Aufgabe der Sammlung handelt von verschiedenen Metallen.
Eine Schale wiegt 30 Pfund oder 600 Schillinge und besteht aus Gold, Silber, Messing und Zinn. Sie enthält dreimal so viel Silber wie Gold, dreimal so viel Messing wie Silber und dreimal so viel Zinn wie Messing. Wie viel Metall jeder Art enthält sie?
Kürzt man die Gewichte des Goldes, des Silbers, des Messings und des Zinns mit G, S, M und Z ab, kann man den Aufgabentext durch die vier Gleichungen G + S + M + Z = 30, S = 3G, M = 3S und Z = 3M zusammenfassen.
Setzt man nun die letzte Gleichung in die erste ein, bekommt man G + S + 4M = 30. Anschließend wird die dritte in die erste Gleichung eingesetzt, und es ergibt sich G + 13S = 30. Zum Schluss setzt man noch die zweite Gleichung in die erste ein. Dadurch erhält man 40G = 30 oder G = 3⁄4.
Daraus ergibt sich aus der zweiten, dritten und vierten Gleichung, dass S = 21⁄4, M = 63⁄4 und Z = 201⁄4 ist. Die Schale besteht also aus 3⁄4 Pfund Gold, 21⁄4 Pfund Silber, 63⁄4 Pfund Messing und 201⁄4 Pfund Zinn. Die Angabe aus der Aufgabe, dass die Schale aus insgesamt 600 Anteilen Gold, Silber, Messing und Zinn besteht, wird zur Lösung gar nicht benötigt.
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