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Hemmes mathematische Rätsel: Die fehlende Zahl

Mäxchen schreibt der Reihe nach alle Zahlen auf, doch ein Regentropfen verwischt eine Zahl. Welche ist verschwunden, wenn der Durchschnittswert 35 1/7 beträgt?
Zahlenmuster

Volker Wagner aus Wermelskirchen im Bergischen Land hat zahlreiche Denksportaufgaben erfunden. Er wurde 1965 geboren, studierte in Dortmund Chemie und promovierte in Bonn. Im September 2005 stellte er in einem Denksportforum in Internet folgendes Rätsel:

Mäxchen sitzt auf der Gartenbank und schreibt mit seinem neuen Füller die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 und so weiter in sein Heft. Plötzlich beginnt es zu regnen, und ein Tropfen fällt ins Heft und löscht eine der Zahlen aus. Am Abend stellt Mäxchens Vater fest, dass die restlichen Zahlen einen Durchschnittswert von 35 717 haben. Welche Zahl hat der Regentropfen ausgelöscht?

Angenommen, Mäxchen hat die Zahlen von 1 bis n in sein Heft geschrieben. Sie bilden eine arithmetische Reihe und haben die Summe n(n + 1)/2. Wenn der Regentropfen die Zahl m gelöscht hat, so haben die restlichen n − 1 Zahlen einen Durchschnittswert von 35717 = 60217.

Somit gilt die Gleichung n(n + 1)/2 − m = 602(n − 1)/17. Da auf der linken Gleichungsseite eine Summe von ganzen Zahlen steht, ist die gesamte linke Seite ganzzahlig. Somit kann auch die rechte Seite der Gleichung nur ganzzahlig sein. 60217 lässt sich nicht kürzen, also muss n − 1 durch 17 teilbar sein. Daraus ergeben sich als mögliche Werte für n die Zahlen 1, 18, 35, 52, 69, 86, …

Der größtmögliche Wert für m ist n. Es gilt also n(n + 1)/2 − m kleiner oder gleich 602(n − 1)/17. Dies lässt sich zu n kleiner oder gleich 70 vereinfachen. Der kleinstmögliche Wert von m ist 1. Das ergibt sich n(n + 1)/2 − 1 größer oder gleich 602(n − 1)/17, was man zu n größer oder gleich 69 vereinfachen kann. Damit kommt nur n = 69 in Frage.

Löst man die ursprüngliche Gleichung nach m auf und setzt für n die Zahl 69 ein, erhält man m = 7. Der Regentropfen hat also die Zahl 7 ausgelöscht.

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