Direkt zum Inhalt

Hemmes mathematische Rätsel: Die Festung

Römer belagern eine Festung der Markomannen. Umzeichnung eines Reliefs auf der Marcussäule in Rom, 2. Jahrhundert n. Chr.Laden...

Shihabaddin Abu l-Abbas Ahmad ibn Yahya ibn Abi Hajala at-Tilimsani al-Hanbali schrieb vor etwa 600 Jahren ein arabisches Schachbuch mit dem Titel »Buch der Beispiele über die Kriegsführung beim Schach«. Im Jahre 1446 wurde es von Muhammed ibn Ali ibn Muhammed al Arzagi abgeschrieben, und diese Kopie des Werks ist bis heute erhalten geblieben. In diesem Schachbuch taucht erstmals in der Geschichte der Unterhaltungsmathematik ein Anordnungsproblem auf, das seitdem in sehr vielen Denksportaufgabenbüchern der Welt in zahlreichen Varianten zu finden ist.

Eine Festung mit vier Mauern und vier Ecktürmen soll von 44 Soldaten verteidigt werden. Der Hauptmann ordnet seine Männer so auf den Mauern und den Türmen an, dass jede Seite der Festung von zwölf Mann bewacht wird. Als durch einen Überfall vier Soldaten sterben, ordnet der Hauptmann die verbliebenen Soldaten so um, dass noch immer zwölf Mann auf jeder Festungsseite stehen. Als erneut vier Mann sterben, ordnet der Hauptmann noch einmal um, und wieder stehen zwölf Mann auf jeder Seite. Ein drittes Mal sterben vier Soldaten. Der Hauptmann ordnet seine Männer um, und erneut stehen zwölf Soldaten an jeder Festungsseite. Wie hat der Hauptmann die 44, 40, 36 und 32 Soldaten auf die vier Türme und vier Mauern der Festung verteilt?

Die Festung

Nimmt man an, dass der Hauptmann seine n Soldaten so verteilt, dass auf jedem Turm a und auf jeder Mauer b Soldaten stehen, so kann man dies durch die beiden Gleichungen 4(a + b) = n und 2a + b = 12 beschreiben. Löst man die zweite Gleichung nach b auf, erhält man b = 12 − 2a. In die Gleichung eingesetzt, ergibt dies a = 12 − n/4. Daraus ergeben sich für folgende Lösungen:
n = 44: a = 1 und b = 10
n = 40: a = 2 und b = 8
n = 36: a = 3 und b = 6
n = 32: a = 4 und b = 4

Die Festung

Das Problem ist auch noch für n = 48, 28 und 24 lösbar. Würde der Hauptmann seine Soldaten so verteilen, dass nicht auf jedem Turm und jeder Mauer jeweils gleich viele Männer stehen, so gäbe es noch zahlreiche weitere Lösungsmöglichkeiten.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

Partnerinhalte