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Hemmes mathematische Rätsel: Die grasende Ziege

Eine Ziege grast auf einer kreisförmigen Wiese mit einem Radius von zehn Metern. Sie ist mit einer Leine am Rand der Wiese angepflockt. Wie lang muss die Leine sein, damit die Ziege gerade die halbe Wiese abgrasen kann?
Ziegen
1894, im Gründungsjahr der Zeitschrift »American Mathematical Monthly«, veröffentlichte Charles E. Myers ein geometrisches Problem, das zu einem Klassiker des mathematischen Denksports geworden ist.

Eine Ziege grast auf einer kreisförmigen Wiese mit einem Radius von zehn Metern. Sie ist mit einer Leine am Rand der Wiese angepflockt. Wie lang muss die Leine sein, damit die Ziege gerade die halbe Wiese abgrasen kann?

Die Wiese hat den Radius r und Leine der Ziege die Länge kr. Der Teil, den die Ziege abgrasen kann, muss genau den halben Wiesenflächeninhalt haben und beträgt somit F1 + F2 = πr2/2. Dabei sind die Flächen F1 und F2 Kreisabschnitte vom großen Leinenkreis beziehungsweise vom kleinen Wiesenkreis. Sie haben die Inhalte F1 = k2r2(2β – sin(2β))/2 und F2 = r2(2α – sin(2α))/2, wobei die Winkel im Bogenmaß angegeben werden müssen.

Die grasende Ziege

Setzt man diese Inhalte in die Flächengleichung ein, erhält man k2r2(2β – sin(2β))/2 + r2(2α – sin(2α))/2 = πr2/2. Der Radius fällt jetzt aus der Gleichung heraus.

Zwischen den Winkeln α und β besteht die Beziehung α = π – 2β, und außerdem gilt k = 2cosβ. Setzt man dies in die Gleichung ein, wird aus ihr 4cos2β(2β – sin(2β)) + 2π – 4β – sin(2π – 4β) = π.

Da sin(2π – 4β) = –sin(4β) ist kann man die Gleichung zu 4cos2β(2β – sin(2β)) – 4β + sin(4β) = –π vereinfachen. Dieser komplizierte Ausdruck lässt sich mit Hilfe der Additionstheoreme zu 2sin(2β) – 4βcos(2β) = π zusammenfassen.

Der nächste Schritt müsste jetzt sein, die Gleichung nach β aufzulösen. Das ist aber nicht möglich. Man kann die Gleichung nur numerisch lösen. Dabei erhält man β ≈ 0,95285 und daraus eine Leinenlänge von kr ≈ 11,587 m.

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