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Hemmes mathematische Rätsel: Die Hundeleine und der Pfeiler

Können Sie ermitteln, wie groß die Schlaufe einer Hundeleine sein muss, damit man sie über einen Torpfeiler streifen lässt?
Hund mit Herrchen

Am Brötcheneinkauf in einer Bäckerei in Zoutelande in Zeeland darf sich Klaus Bullerschens Hund Willi leider nicht aktiv beteiligen. Er wird deshalb an einem gemauerten Torpfeiler des gegenüber liegenden Kirchengrundstückes fest gemacht. Die Schlaufe der Hundeleine lässt sich dabei so gerade über den Kopf des Pfeilers streifen. Welchen Umfang muss die Schlaufe hierfür mindestens haben?

Der Pfeiler hat einen quadratischen Querschnitt mit einer Kantenlänge von 32 cm. Der Kopf des Pfeilers ist ein Würfel, der auch eine Kantenlänge von 32 cm hat. Er ist um 45 Grad gedreht und so gekappt, dass er den Pfeiler genau abdeckt. Durch die Leinendicke verursachte Effekte sollen hier nicht berücksichtigt werden.

Zieht man die Schlaufe der Hundeleine über eine der Würfelflächen des Pfeilerkopfes, reicht dafür als Schlaufenumfang zunächst der Würfelflächenumfang 4a aus. Schiebt man die Schlaufe dann weiter, bleibt sie aber an zwei Ecken des Pfeilerkopfes hängen. Darum muss man ihren Umfang soweit vergrößern, dass sie sich über eine dieser beiden Ecken E ziehen lässt. Ist das geschafft, rutscht die Schlaufe mühelos auch über die andere Ecke und liegt anschließend locker um den Pfeiler. In der ersten Zeichnung ist zu sehen, wie die Schlaufe liegt, wenn sie über die Ecke hinten rechts gezogen wird.

Die Hundeleine und der Pfeiler

Die zweite Abbildung ist eine Abwicklung des Würfelkopfes. Die grauen Flächen sind die im Pfeiler steckenden Teile der Würfelflächen. Nach dem Satz des Pythagoras gilt a2 = c2 + c2 und s2 = a2 + c2 und p2 = (2a)2 + c2.

Die erste Gleichung kann man zu c2 = a2/2 zusammenfassen und in die zweite und dritte einsetzen. Dadurch bekommt man s2 = a2 + a2/2 und p2 = (2a)2 + a2/2, was sich zu s = 12a√6 und p = 32a√2 umformen lässt.

Die Schlaufe muss somit bei a = 32 cm einen Umfang von mindestens (1 + 12√6 + 32√2)a ≈ 139,07 cm haben. Würde man übrigens die Schlaufe gleichzeitig über beide Würfelecken ziehen wollen, müsste sie den längeren Umfang 2a + 2s ≈ 142,38 cm haben.

Die Hundeleine und der Pfeiler

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