Hemmes mathematische Rätsel: Die Kehrwerte der Dreieckszahlen
Um aus Münzen ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge n zu legen, benötigt man n(n+1)/2 Münzen. Die Münzzahlen, die man für die Dreiecke der Seitenlängen 1, 2, 3, 4, … benötigt, nennt man Dreieckszahlen. Sie waren in der Antike schon den Griechen bekannt und Pythagoras hat sich im 6. vorchristlichen Jahrhundert mit ihnen beschäftigt. Die vier kleinsten Dreieckszahlen sind 1, 3, 6 und 10.
Der Niederländer Christiaan Huygens (1629-1695) war einer der bedeutendsten Mathematiker und Physiker der 17. Jahrhunderts. Er schuf die Wellentheorie des Lichtes, entdeckte den ersten Saturnmond und erfand eine Pendeluhr, deren Genauigkeit erst hundert Jahre später übertroffen wurde. Im Jahre 1672 traf er in Paris den 26-jährigen Deutschen Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), der im Laufe seines Lebens bedeutendes als Philosoph, Mathematiker, Diplomat, Physiker, Historiker, Politiker und Bibliothekar leistete und als letzter Universalgelehrter in die Geschichte einging. Beispielsweise entwickelte er gleichzeitig mit Newton und unabhängig von diesem die Differential- und Integralrechnung.
Huygens stellte Leibniz eine Aufgabe, die dieser auch schnell lösen konnte. Sie lautete: Wie groß ist die Summe der Kehrwerte aller Dreieckszahlen?
Die n-te Dreieckszahl ist Dn = n(n + 1)/2. Somit beträgt ihr Kehrwert 1/Dn = 2 / (n(n + 1)). Im Zähler des Bruches auf der rechten Gleichungsseite wird 2n addiert und sofort wieder subtrahiert. Dadurch ändert sich der Wert des Bruches nicht. Dies ergibt 1/Dn = (2n + 2 − 2n) / (n(n + 1)). Der Ausdruck kann zu 1/Dn = (2(n + 1) − 2n) / (n(n + 1)) und dann zu 1/Dn = 2/n − 2/(n + 1) umgeformt werden.
Nun werden die Kehrwerte aller Dreieckszahlen addiert. Sie ergeben S = 1/D1 + 1/D2 + 1/D3 + 1/D4 + ... = (2⁄1 − 2⁄2) + (2⁄2 − 2⁄3) + (2⁄3 − 2⁄4) + (2⁄4 − 2⁄5) + ... Die Summanden werden immer kleiner und streben schließlich gegen 0. Die Klammern sind natürlich völlig überflüssig. Lässt man sie fort, sieht man, dass sich alle Summanden paarweise aufheben und nur der erste Bruch übrig bleibt. Folglich beträgt die Summe der Kehrwerte aller Dreieckszahlen genau 2.
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