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Hemmes mathematische Rätsel: Die letzte Ziffer des Quadrats

Die vorletzte Ziffer einer Quadratzahl ist 7. Mit welcher Ziffer endet diese Quadratzahl?
Uhr mit rückwärtslaufender Ziffernblattspirale

Dänemarks größter Mathematiker war Jørgen Mohr. Er lebte im 17. Jahrhundert und latinisierte, der Mode seiner Zeit folgend, seinen Namen zu Georg Mohr. Seine wohl bedeutendste Leistung war der Beweis, dass jede geometrische Konstruktion, für die man nur einen Zirkel und ein Lineal benötigt, auch mit einem Zirkel allein gemacht werden kann. Er veröffentlichte diesen Beweis 1672 in seinem Buch Euclides Danicus, das er dem dänischen König in Erwartung einer finanziellen Versorgung widmete. Seine Entdeckung wurde lange Zeit kaum beachtet und über hundert Jahre später von dem Italiener Lorenzo Mascheroni unabhängig von Mohr erneut gefunden. Seitdem kennt man sie in der Mathematik als den Mohr-Mascheroni-Satz. Seit mehreren Jahrzehnten findet in Dänemark jährlich ein Mathematikwettbewerb für Schüler statt, der Mohrs Namen trägt. Das heutige Rätsel stammt aus den Georg Mohr-Konkurrencen des Jahres 1996.

Die vorletzte Ziffer einer Quadratzahl ist 7. Mit welcher Ziffer endet diese Quadratzahl?

Jede positive ganze Zahl n kann man 10a + b schreiben. Dabei ist b die letzte Ziffer von n, und a ist die Zahl, die entsteht, wenn man von n die letzte Ziffer streicht. Somit hat die Quadratzahl n2 die Form n2 = (10a + b)2 = 100a2 + 20ab + b2. Da der Term 100a2 mit zwei Nullen endet, sind die zwei letzten Ziffern von n2 und von der Summe 20ab + b2 gleich. Der Ausdruck 20ab = 10 • 2ab ist das Zehnfache einer geraden Zahl und muss folglich auf 00, 20, 40, 60 oder 80 enden. Da die vorletzte Ziffer von n2 und von 20ab + b2 eine 7 ist, also eine ungerade Zahl, muss auch die vorletzte Ziffer von b2 eine ungerade Zahl sein. Die Quadrate der zehn Ziffern von 0 bis 9 sind 00, 01, 04, 09, 16, 25, 36, 49, 64 und 81. Deshalb kann b2 nur 16 oder 36 sein. In beiden Fällen ist die letzte Ziffer und damit die gesuchte Lösung eine 6.

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