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Hemmes mathematische Rätsel: Die Logikerinnen

Wenn Sie genau überlegen, können Sie das Rätsel der Logikerinnen lösen...
Viele kleine Zahlen

Zwei Logikerinnen wollen ihr Denkvermögen testen und bitten einen Assistenten, ihnen dabei zu helfen. Jede der beiden Logikerinnen denkt sich eine positive ganze Zahl aus und schreibt sie auf einen Zettel, den sie dem Assistenten gibt. Dann nimmt der Assistent zwei neue Zettel und schreibt auf den einen das Produkt und auf den anderen die Summe der beiden Zahlen. Die beiden neuen Zettel werden in einen Hut geworfen und gut geschüttelt. Nun zieht der Assistent einen Zettel aus dem Hut und liest die Zahl, die darauf steht, vor: »234«. Beide Logikerinnen kennen natürlich das Verfahren, aber nicht die Zahl ihrer Gegenspielerin. Nun sagt die erste Logikerin: »Ich kenne deine Zahl nicht.« Darauf erwidert die zweite Logikerin: »Ich kenne deine Zahl auch nicht.« Nun sagt die erste Logikerin: »Ich kenne jetzt deine Zahl.«

Wie lautet die Zahl der zweiten Logikerin? Niemand lügt bei dem Spiel und beide Logikerinnen sind perfekt und machen keine Denkfehler.

Hätte die erste Logikerin eine Zahl M gewählt, die kein Teiler von 234 ist, könnte sie eindeutig die Zahl der zweiten Logikerin zu N = 234 – M bestimmen. Da sie aber sagt, sie wisse die Zahl der zweiten Logikerin nicht, muss M ein Teiler von 234 sein. Hierfür kommen nur 1, 2, 3, 6, 8, 13, 18, 26, 39, 78, 117 und 234 in Frage. N kann also entweder 234 – M oder 234/M sein.

Die zweite Logikerin kann die gleichen Überlegungen anstellen wie die erste, darum weiß sie, dass M ein Teiler von 234 ist. Da auch sie sagt, dass sie die Zahl ihrer Mitspielerin nicht kenne, muss auch N ein Teiler von 234 sein. Weil aber auch diese Erkenntnis noch nicht ausreicht, um M zu bestimmen, muss es zwei mögliche Werte M1 und M2 geben, für die gilt, dass M1 + N = 234 und M2 • N = 234 ist. Das ist aber nur für M1 = 117, M2 = 2 und N = 117 der Fall.

Die erste Logikerin kann diese Überlegungen auch machen und weiß nun, dass die Zahl der zweiten Logikerin N = 117 ist. Die zweite Logikerin hingegen hat keine Möglichkeit, zu entscheiden, ob M = 2 oder M = 117 ist.

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