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Hemmes mathematische Rätsel: Die Mathematik der Wäscheleine

Zwischen zwei Häusern ist eine Wäscheleine gespannt. Sie ist genau zehn Meter lang und hängt in der Mitte fünf Meter durch. Welchen Abstand haben die beiden Häuser?
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Die Kurve, die ein durchhängendes Seil bildet, heißt in der Mathematik Kettenlinie. Beispielsweise haben die zwischen zwei Masten gespannte Stromleitung und die Absperrungskette zwischen zwei Pfosten diese Form. Auch in der Architektur taucht sie auf: Der Längsschnitt der Kuppel der St.-Pauls-Kathedrale in London ist eine auf dem Kopf stehende Kettenlinie. Die Gleichung der Kettenlinie ist y(x) = A cosh(x/B) + C, wobei cosh der hyperbolische Kosinus ist, und A, B und C Konstanten sind, die durch die Länge der Kette und ihre Durchhängetiefe bestimmt werden.

Der US-amerikanische Mathematiker Murray S. Klamkin (1921–2004) war Professor an der kanadischen University of Waterloo in Ontario und Erfinder unzähliger mathematischer Denksportaufgaben. Im Januar 1955 veröffentlichte er in der Zeitschrift Mathematics Magazine das folgende Kettenlinienproblem:

Zwischen zwei Häusern ist eine Wäscheleine gespannt. Sie ist genau zehn Meter lang und hängt in der Mitte fünf Meter durch. Welchen Abstand haben die beiden Häuser?

Das Problem mit der Kettenliniengleichung lösen zu wollen, hieße mit Kanonen auf Spatzen zu schießen. Die Wäscheleine ist zehn Meter lang und soll fünf Meter durchhängen, das heißt, die Durchhängetiefe ist gerade die halbe Seillänge. Die Leine ist also einfach doppelt gelegt und hängt senkrecht von den Hauswänden herunter, wobei der Abstand der Häuser null ist. Die Zeichnung in der Aufgabe ist also nicht sehr realistisch.

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