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Die mehrere Winkel Halbierende

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Zeigen Sie bitte, wieso die Winkelhalbierende zwischen zwei Seiten eines Dreiecks auch den Winkel zwischen den Richtungen zum Höhenfußpunkt und zum Umkreismittelpunkt M halbiert.

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Der Umfangswinkelsatz sagt uns, wie man zwei zueinander ähnliche Dreiecke findet.

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Die gelb markierten Winkel sind Rechte (wegen Höhe bzw. wegen Thales), die grünen sind wegen des Umfangswinkelsatzes gleich, also sind die hellgrünen rechtwinkligen Dreiecke einander ähnlich, und die roten Winkel sind gleich. Da die Linie zum Inkreismittelpunkt O den Innenwinkel des Ausgangsdreiecks halbiert, sind auch die beiden hellblauen Winkel gleich.

Eine andere Variante geht so (hier gleich für alle 3 Höhen usw. gezeichnet):

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Die verlängerte Höhe CD ist rechtwinklig zu ihrer Seite AB, CE ist ein Durchmesser des Umkreises, damit ist CDE ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Umkreis als Thaleskreis, und DE ist parallel zu AB. Damit liegen aber auch AD und EB symmetrisch auf dem Bogen AB des Umkreises, und nach dem Umfangswinkelsatz sind die zugehörigen Winkel ACD und ECB gleich. Das Ganze gilt für die anderen beiden Bögen ebenso.

Diese Variante lehnt sich stärker an das allgemeine Rezept zum zeichnerischen Auffinden eines isogonalen Bildpunktes an. Wir sehen auf jeden Fall: H und U sind zueinander isogonal konjugiert.

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