Hemmes mathematische Rätsel: Die Punkte auf dem Möbiusband
Verdreht man einen Papierstreifen um 180 Grad und klebt dann seine beiden Enden zu einem Papierring zusammen, erhält man ein Möbiusband. Dieses Band hat eine ganze Reihe von kuriosen Eigenschaften. Ein gewöhnlicher unverdrehter Papierring hat eine Innen- und eine Außenfläche und einen oberen und einen unteren Rand. Das Möbiusband hingegen hat nur eine Fläche und auch nur einen Rand. Das bedeutet, man kann bei einem gewöhnlichen Papierring von der Außenfläche nicht zur Innenfläche gelangen, ohne über einen der beiden Ränder zu gehen, während man beim Möbiusband von jedem Punkt zu jedem anderen Punkt gelangen kann, ohne den Rand überschreiten zu müssen.
Auf einem gewöhnlichen unverdrehten Papierring liegen n Punkte. Nun wird jeder Punkt mit jedem anderen Punkt durch eine Linie verbunden. Die Linien dürfen gerade sein oder auch beliebig krumm. Sie dürfen einander aber niemals schneiden, berühren und über den Rand des Papiers laufen. Es ist sehr leicht zu sehen, dass dies nur möglich ist, wenn n < 5 ist:
Auch auf einem Möbiusband liegen n Punkte und sollen unter den gleichen Bedingungen alle miteinander verbunden werden. Das Möbiusband ist aus unendlich dünner, transparenter Folie gefertigt. Eine Linie durchdringt somit die Folie und ist auf »beiden Seiten« des Bandes zu sehen. Wie groß kann n höchstens sein?
Auf dem Möbiusband kann man unter den gegebenen Bedingungen höchstens sechs Punkte unterbringen. Die Skizze zeigt ein Beispiel dafür, wo die Punkte liegen und wie die Linien verlaufen können. Das Band muss noch verdreht und zusammengeklebt werden. Dabei verbinden sich die Linienenden a, b, c, d und e an der linke Klebekante mit den entsprechenden Enden an der rechten Klebekante.
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