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Hemmes mathematische Rätsel: Die Quadrate im Dreieck

Können Sie die Größe zweier Quadrate, die in Dreiecken eingefasst sind, vergleichen?
Mathe am Gymnasium

In der vom National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) in den USA herausgegebenen Zeitschrift »The Mathematics Teacher« gibt es seit beinahe dreißig Jahren jeden Monat in der Heftmitte eine Doppelseite zum Herausnehmen. Das Blatt ist ein Kalender für den jeweiligen Monat und enthält für jeden Tag eine mathematische Denksportaufgabe. Dieser mathematische Kalender ist die bei den Lesern mit Abstand beliebteste Kolumne der Zeitschrift. Auf dem Kalenderblatt vom April 1991 findet man folgendes Rätsel von James Varnadore aus San Diego in Kalifornien:

In ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck kann man ein Quadrat so einzeichnen, dass zwei seiner Seiten auf die Katheten fallen und eine seiner Ecken auf die Hypotenuse fällt.

Die Quadrate im Dreieck

Man kann ein Quadrat aber auch so in dasselbe Dreieck zeichnen, dass umgekehrt zwei seiner Ecken auf die Katheten fallen und eine seiner Seiten auf die Hypotenuse fällt. Um wie viel Prozent ist das zweite Quadrat größer oder kleiner als das erste, oder sind sie beide gleich groß?

Die Quadrate im Dreieck

Unterlegt man die beiden Figuren mit einem Raster aus gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreiecken, so wie es die Abbildung zeigt, kann man die Größen der Quadrate leicht durch Abzählen bestimmen.

Die Quadrate im Dreieck

Das erste Quadrat nimmt 24 = 12 der Fläche des großen Dreiecks ein, das zweite jedoch nur 49. Der Unterschied zwischen den beiden Quadratflächen beträgt somit 12 − 49 = 918 − 818 = 118 der Dreiecksfläche. Das zweite Quadrat ist folglich um (118) / (12) = 19 oder um rund 11 Prozent kleiner als das erste.

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