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Hemmes mathematische Rätsel: Die quadratische Stadt

Können Sie dieses über 2000 Jahre alte, geometrische Rätsel lösen?
Gräberstraße in Pompeji

»Jiu Zhang Suanshu« oder auf Deutsch »Neun Bücher arithmetischer Technik« ist der Titel eines alten chinesischen Rechenbuchs, das über zwei Jahrtausende lang immer wieder neu aufgelegt wurde. Es soll von Chang Tsang um 150 v. Chr. nach älteren Vorlagen verfasst und von Keng Shu Chang um 60 v. Chr. erweitert worden sein. Im Jahr 656 wurde es sogar zum offiziellen Lehrbuch für Beamte und Ingenieure erklärt. Das Buch gehört zu den »Suanjing shi shu«, einer Sammlung von zehn mathematischen Klassikern, die Anfang des siebten Jahrhunderts auf Befehl des Kaisers Li Yuan neu herausgegeben wurden. »Jiu Zhang Suanshu« ist eine Sammlung von 246 Problemen, die in neun Kapiteln nach Anwendungsfeldern wie Bautechnik, Steuern, Handel, Landvermessung oder Geldverleih gruppiert sind. Es werden jeweils die Problemstellung, die Lösung und der Lösungsweg beschrieben. In dem Buch gibt es mehrere Aufgaben über Abmessungen von Städten.

Eine davon lautet: Eine Stadt mit einer quadratischen Grundfläche ist von hohen Mauern umgeben, von denen zwei in Nord-Süd- und zwei in Ost-West-Richtung verlaufen. In der Mitte jeder Mauer ist ein Tor eingelassen. Genau 20 Schritte nördlich des Nordtores steht ein Baum. Verlässt man die Stadt durch das Südtor, geht von dort aus 14 Schritte nach Süden und biegt dann nach Westen ab, so kann man den Baum nach weiteren 1775 Schritten erblicken. Wie viele Schritte ist jede der vier Stadtmauern lang?

Für die beiden rechtwinkligen Dreiecke, bei denen an einer Ecke der Baum steht, gilt auf Grund des Strahlensatzes 20/(12X) = (20 + X + 14)/1775. Nach einigen Umformungen erhält man daraus X2 + 34X − 71000 = 0. Diese quadratische Gleichung kann man mit einer der üblichen Methoden lösen und erhält für X die Werte 250 und – 284. Da der negative Wert bei diesem Problem sinnlos ist, müssen die vier Stadtmauern jeweils 250 Schritt lang sein. Es handelt sich also wohl nicht um eine Stadt, wie in der Aufgabe behauptet wird, sondern eher um ein winzig kleines Dorf.

Die quadratische Stadt

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