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Hemmes mathematische Rätsel: Die Quadratur des Kreises

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Eines der berühmteste Probleme der Mathematik ist die Quadratur des Kreises: Aus einem vorgegebenen Kreis soll nur mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches Quadrat konstruiert werden. Seit dem fünften vorchristlichen Jahrhundert versuchten Mathematiker und Laien ohne Erfolg, das Problem zu lösen. Schließlich gelang es 1882 dem deutschen Mathematiker Ferdinand von Lindemann zu beweisen, dass das Problem prinzipiell unlösbar ist. Alle Konstruktionen mit Zirkel und Lineal können also bestenfalls nur Näherungslösungen sein.

Eine solche Näherungslösung entdeckte kurz nach dem 2. Weltkrieg der Südtiroler Handelsmann Eduard Gregori. Er verriet sie dem Ingenieur Georg Innerebner, der sie 1947 in dem Magazin »Der Schlern«, einer Zeitschrift für Südtiroler Landeskunde, veröffentlichte.

Um einen Kreis mit dem Radius r und dem Mittelpunkt M wird das Quadrat ABCD gezeichnet. Die Diagonale AC kreuzt den Kreisumfang im Punkt E. Der Kreisbogen mit dem Radius AE schneidet die Quadratseite AD im Punkt F. Schlägt man nun einen Kreis mit dem Radius r um den Punkt F, bekommt man den Schnittpunkt G mit der Quadratseite AB. Die Strecke AG wird geviertelt, und das erste Viertel liefert den Punkt H. Zum Schluss wird das Quadrat HBIK konstruiert, das näherungsweise die gleiche Fläche hat wie der Kreis. Angenommen, das Quadrat HBIK hätte einen Flächeninhalt von genau πr2, wie groß wäre dann π?

Da die Seiten des Quadrates ABCD eine Länge von 2r haben, muss die Halbdiagonale AM = r√2. Folglich gilt AE = (√(2) − 1)r. Die Strecken AF und AE und die Strecke FG und der Radius sind jeweils gleich lang. Es gilt also AF = (√(2) − 1)r und FG = r. Nun kann man mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Strecke AG berechnen: AG = √(FG2 − AF2) = √(2√(2) − 2) · r.

Die Seitenlänge des Quadrates HBIK ist um ein Viertel von AG kürzer als die Seitenlänge des Quadrates ABCD. Daraus ergibt sich HB = AB − AG/4 = (2 − √(2√(2) − 2) / 4)r. Dieses Quadrat soll den Flächeninhalt πr2 haben. Stellt man πr2 = HB2 nach π um, bekommt man π = (2 − √(2√(2) − 2) / 4)2 = 3,141596974… Diese Zahl ist ein sehr guter Näherungswert der Kreiszahl 3,141592654… und weicht nur um knapp 0,00014 Prozent von ihr ab.

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